夏休み2日目

8/8(土) 晴れ

二日目になった。

午前中のことを書く。

起きてスマホ見てツイッター見て数学をやった。

昨日示せなかったことが示せたので思い出しながら書いてみる。

主張

locally k-finite type schemeの X について点 xが k上d次元smoothなときその点はregular。しかもxの局所環の次元はd以下。とくに閉点のときは一致する。

 

証明の概略

smooth locusが開集合だからxを含む開近傍が取れる。それとxの閉包の共通部分は局所閉集合だから閉点全体がvery denseよりある閉点をふくむ。とくにこれはsmooth。次元とかこれで抑えられるしこれについてregularが言えれば十分。以下閉点のみで考える。smoothの定義からk[T_1 , ... , T_n]/(f_1 , ... , f_{n-d})のスペクトラムを考えればよい。とくにxが閉点だからfinite typeであることよりそのスペクトラム上で閉点とまでできる。像をyとするとxの局所環はO_{A^n_k , y}/(f_1 , ... , f_{n-d})と同型。fのm_y/m_y^2への像はk(y)上一次独立になる。実際線形結合を考えて微分してrank(J_{f_1 , ... , f_{n-d}}) = n-dであることを使えばその転置行列の核の次元を考えればよい。一次独立になればその剰余環がregularになることがわかって、次元はyが閉点だからn - (n-d) = dになる。これでヨシ。

 

LaTeXのコマンドを使えば見やすく書けるのかもしれないけどそこまで真面目にやる気が起きない。まあいいか。こんなしっかり書いていたらめんどくさくなってやめそう。示した命題だけが日々の出来事なのは良いことなのか悪いことなのか。

 

昼ごはんはカレーだった。スープみたいなカレーより具の入っていないドライカレーみたいなのが好きだからとても美味しかった。実解析のレポートが返ってきていた。結局全部しっかり解けていたので安心したけど命題が微妙に頭に入っていない気がする。ここで800文字を超えていた。数学のこと書けば意外と文字がうまる。午後は続きをやるのでまたやる気があれば追記。apexの配信を垂れ流しにしているけどちょうどラジオみたいでいい感じ。実際やってみたい気はするけどパソコンのスペックが足りないはず。デスクトップだったら出来るかもしれないけど10年以上前のものだしずっと電源つけてないし発火しそうでつけるにつけられない。回線速度がある程度良くなったからゲームをダウンロード購入できるようになったけどゲームはゲーム機でやるという古臭い先入観があって出来ない。というかやり始めたらずっとやり続けて生活に支障をきたす。だからゼルダも買うのに踏み切れない。ゼルダと松村可換環論は同じくらいの値段らしい。

 

次の命題

主張

体kとA^n_kの閉部分scheme X = V(g_1 , ... , g_s)とその閉点xについてrank J_{g_1 , ... , g_s} = n - dim O_{X,x}となっているとするとXはxでsmooth。

証明の概略

 xの局所環の次元をdとおく。階数がn-dだから左上n-d小行列が可逆になるように変数と多項式を入れ替える。Y = V(g_1 , ... , g_{n-d})とおくとx \in X \subset Yとなる。定義からYはxでsmooth。上の主張からとくにregularでYにおけるxの局所環の次元はd以下。ただし、xの高さは多項式環のなかでnになるからn-(n-d)で高さdだから特にYの閉点になるからその次元はd。O_{Y,x} → O_{X,x}は全射準同型で両方とも次元がd<∞だからスペクトラムをとって同型になる。(O_{Y,x}がregularだから整域であることを用いた)よってこの環は同型だからxを含むあるXの開部分scheme UとYの開部分scheme Vが存在してこれは同型。この同型写像を使えばXにおいてxはsmoothであることが定義からわかる。ヨシ。

 

下の方が空行を挟んでおかないと見づらい。数学系のGPAが高いという話題が一瞬ツイッターに流れた。まああのゆるさならそれはそうという気持ちとB日程しかないという大変さがある。昨日示した命題を書くようにしたほうが頭に入れられるような気がしたけどここまで書いちゃったしとりあえず今日は今日の分を書く。進捗がないのが分かってしまう。

午後は高校同期と話をして流れでwarthunderをやった。久しぶりにやってみると結構面白かったけど操作が慣れない。ノートパソコンでも出来たのとダウンロードに何十時間とかからなくなったのが以前との違いだった。これいつ公開すれば良いんだろう。アクセス解析とか言うところがあるのを見つけた。意外と数があってびっくりしたけど何回も表示すればまあそうなるかという気持ちがある一方でこういうのを見る人もいるのかという感じになった。サボらないようにするためにも一応更新の通知はツイッターに流すつもりでいる。次に示す命題はsmoothの同値条件とregular性の関係性らしい。先日示した命題を思い出して書いてみようかと思ったけど証明がちょっと大変だったから主張だけ思い出す。

主張1

形式的冪級数環の間の準同型についてφ(Y_i) = f_i \in (X_1 , ... , X_n)となってるとする。ただしiは1からnまで。このときそのヤコビ行列に0を代入したものが可逆ならばこのφは同型。

証明は誘導される次数つき環上で同型になることからわかる。

 

主張2

locally finite type overk なscheme Xk-scheme Xについてxが次元dでsmoothとする。忘れていてあとから付け足した仮定があった。x \in X(k)が必要。このときxの局所環の極大イデアルによる完備化はd変数k係数形式的巾級数環と同型になる。

 証明はsmoothの定義からとれるf_1 , ... , f_{n-d}に対して適切にxを原点にして定数項を無くし、1からn-dまではf_iに移してそれ以外はそのままの変数に移す形式的巾級数環の間の射像を考えれば上の主張からその形式的巾級数環は同型。xの局所環はf_1 , ... , f_{n-d}による剰余で表せられるから同型を飛ばすことで形式的巾級数環ど同型になる。x \in X(k)であることからsmoothの定義から取れるスペクトラム上でf_iの共通零点と同一視されるからしっかりうえの証明が回る。

 

主張2のほうの主張がめちゃくちゃだった。記憶力が皆無。主張1の方は地の文には逆関数定理的な主張を述べていると書いてあったはず。実際ヤコビアンが可逆であれば同型なものが取れるってのはたしかにそうかも。それよりも一点での局所環が同型ならその周りで同型になる開部分schemeが取れるって方がより逆関数定理っぽかったきがするけどヤコビアンが出てきてないからやっぱりそうじゃないかも。3000字いきそうなのわけわからん。公開したあとに残りの定理を示したらそれは明日書こうという気持ちになった。まあ行間で死んで明日になっても示せない可能性のほうが高い。まあという息継ぎを文章にも各時点で実際の会話もうまく出来ないのがすぐに分かるんだけどそういう一言目の呼吸無く会話を始められる人間は人間じゃない。明日はゼミがあるのでその予習もできたらしたい。これを書いてる間にすればいいじゃないか。それはそうだった。ということで今日はここまで。可算無限くらい書いちゃう可能性が高いからここでやめないと終わらない。実際ここまでといったあとに何文も書いてるのが終わり。おしまい。