夏休み16日目

8/22(土) 晴れ

また10時に目が覚めた。今日は予定がなにもないし最近書くこともなくなってきたので本当に虚無な日記が生成されそうという予感がしている。

半分くらい残っていた伊坂幸太郎の小説を読み切った。満足。いつの間にかこちらも小説に騙されてるような展開が相変わらずおもしろい。一番好きなのはラッシュライフだけど。死神の精度を課題図書に設定していた中学の国語の先生に感謝している。

書くことが思いつかなかったから今悩んでいる命題を書くこととする。

主張

 \mathscr{F} , \mathscr{F}' , \mathscr{F''}  \mathscr{O}_X -moduleとする。 0 \rightarrow \mathscr{F}' \rightarrow \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{F}'' が完全であることと任意の開集合 U \subset X と任意の \mathscr{O}_U -module  \mathscr{G} について 0 \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathscr{O}_X} (\mathscr{G} , \mathscr{F}'_{\mid U}) \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathscr{O}_X} (\mathscr{G} , \mathscr{F}_{\mid U}) \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathscr{O}_X} (\mathscr{G} , \mathscr{F}''_{\mid U})  \Gamma (X , \mathscr{O}_X) 加群として完全であることは同値。

 \mathscr{O}_{X,x} -加群に降ろしてきて加群の一般論を使えば局所的には完全であることがわかるが全体でそうなるかが分かっていない。逆も微妙なのでしっかり考えないとダメそう。どうでもいいけど上の列を書くときに省略記法使えてないから編集画面では見づらいし長い最悪の見た目になっている。多分読み込みも若干重い。まあダメそうと言っててもしょうがないので手を動かしてみる。

どうも核が像に入っていることが示せない。茎での完全性からそこにおいて核が像に入っていることは言えたけどそれが加群の層の準同型まで拡張できる気がしない。完全にやる気が消失してしまったので他のところを眺めることにした。

自由加群みたいだなと思っていたら名前が実際にlocally free  \mathscr{O}_X -moduleとなっていて読みがあたって嬉しい。本当に加群のように扱える道具が揃ってきている。階数もでてきたし。完全性についてstacks projectにあったけど証明にOmittedと書かれていて撃沈した。簡単なのかめんどくさいのかそれともその両方なのか。続きをやった。直積と直和がでてきた。直和は層化しないといけないけど茎はわかりやすくなって、直積は層化しなくていいが茎はわかりやすくならないところがいい感じの複雑さを持っていて楽しい。きれいではないかもしれないがこういう複雑さが色々面白い問題を起こすのかなあと勝手に想像している。ともあれ \mathscr{O}_X -moduleの圏がAbel圏になることを確かめられたのできりが良いし日記はここまでとする。