夏休み23日目

8/29(土) 晴れ

午前中に起床できて時間があったから眼科に行ってきた。そこまで症状がないけど目が乾燥しすぎていることと合わせてどうなのか確認するために受診した。結果はものもらいと目が乾燥していることだった。ものもらいについては全然軽度だったし乾燥も大丈夫そうでとりあえず目薬をもらったし気が楽。午後はゼミなのでそれまでなんかやる。

ゼミが終わった。いい感じに進んでいる。

そのあとまたちょっと進めた。今日示した命題。

主張

 (X , \mathscr{O}_X) をquasi-compactかつquasi-separatedなschemeとし、 \mathscr{L} をその上のinvertible sheaf、 \mathscr{F} をquasi-coherentな \mathscr{O}_X -moduleとする。 s \in \Gamma (X , \mathscr{F}) について次が成り立つ。

(1)  t \in \Gamma (X , \mathscr{F})  t_{\mid X_s} = 0 \in \Gamma (X_s , \mathscr{F}) を満たすときある正整数 n が存在して t \otimes s^{\otimes n} = 0 \in \Gamma (X , \mathscr{F} \otimes \mathscr{L}^{\otimes n}) となる。

(2) 任意の t' \in \Gamma (X_s , \mathscr{F}) に対してある正整数 n  t \in \Gamma (X , \mathscr{F} \otimes \mathscr{L}^{\otimes n}) が存在して t_{\mid X_s} = t' \otimes s_{\mid X_s}^{\otimes n} となる。

証明

まず可逆層が \mathscr{O}_X と同型になるような開被覆をとり、とくにquasi-compactだからaffine openな有限個の被覆 U = \cup_{i=1}^k U_i にできる。それぞれの上で考える。

(1)は前の定理から \Gamma (U_i , \mathscr{O}_X ) 加群としての同型 \Gamma (U_i , \mathscr{F}_{\mid U_i})_{s_{\mid U_i}} \cong \Gamma (U_i \cap X_s , \mathscr{F}) がある。とくに単射性と t_{\mid U_i \cap X_s} = 0から t_{\mid U_i} / 1 = 0 \in \Gamma (U_i , \mathscr{F}_{\mid U_i})_{s_{\mid U_i}} となる。よってある正整数  n_i  t_{\mid U_i} s_{\mid U_i}^{n_i} = 0 \in \Gamma (U_i , \mathscr{F}_{\mid U_i}) となるからとくに有限よりある正整数 n でそのようになる。

 \displaystyle{\mathscr{F}_{\mid U_i} \cong \mathscr{F}_{\mid U_i} \otimes_{\mathscr{O}_{X \mid U_i}} \mathscr{O}_{X \mid U_i}^{\otimes n} \cong \mathscr{F}_{\mid U_i} \otimes_{\mathscr{O}_{X \mid U_i}} \mathscr{L}_{X \mid U_i}^{\otimes n}}

から t_{\mid U_i} \otimes s_{\mid U_i}^{\otimes n} = (t \otimes s^{\otimes n})_{\mid U_i} = 0 \in \Gamma (U_i , \mathscr{F} \otimes_{\mathscr{O}_X} \mathscr{L}^{\otimes n})となるから t \otimes s^{\otimes n} = 0 \in \Gamma (X , \mathscr{F} \otimes_{\mathscr{O}_X} \mathscr{L}^{\otimes n})である。

短いのにコマンドがめちゃくちゃ長い。(2)の証明にこれを使う。(1)は単射性。(2)は全射性的な感じ。(2)は(1)よりも面倒だから書きたくない。やっぱり同型から t'_{\mid U_i \cap X_s} = t_{i \mid U_i \cap X_s} / s_{\mid U_i \cap X_s}^{l_i} となるように t_i \in \Gamma (U_i , \mathscr{F}) が取れる。このときこの t_i について (t_{i \mid U_i \cap U_j} - t_{j \mid U_i \cap U_j})_{U_i \cap U_j \cap X_s} = 0 となるので U_i \cap U_j もquasi-separated かつquasi-compactから(1)よりある正整数 m が取れて (t_{i \mid U_i \cap U_j} - t_{j \mid U_i \cap U_j} ) \otimes s_{\mid U_i \cap U_j}^{\otimes m} = 0 \in \Gamma (U_i \cap U_j , \mathscr{F} \otimes \mathscr{L}^{\otimes m}) となる。よって (t_i \otimes s_{U_i}^{\otimes m})_{\mid U_i \cap U_j} = (t_j \otimes s_{U_j}^{\otimes m})_{\mid U_i \cap U_j} からある t \in \Gamma (X , \mathscr{F} \otimes_{\mathscr{O}_X} \mathscr{L}^{\otimes m}) が存在して t_{\mid U_i} = t_i \otimes s_{\mid U_i}^{\otimes m}となる。また特に t_{\mid U_i \cap X_s} = t_{i \mid U_i \cap X_s} \otimes s_{\mid U_i \cap X_s}^{\otimes m} = t'_{\mid U_i \cap X_s} \otimes s_{\mid U_i \cap X_s}^{\otimes l + m} であるから t_{\mid X_s} = t' \otimes s_{\mid X_s}^{\otimes l + m} となる。

次はDedekind scheme上の可逆層の例をやるらしい。今日はとりあえず読んで明日しっかり書こうかと思う。一箇所完全に抜けているところがあった。やったのに。単純に言えばaffine scheme上の加群から作られる加群の層の逆像とか順像は係数の制限とか係数の拡大と一致しているということ。証明に米田の補題を使うと書いてあったけどそれは別に使わなかった気がする。関手的であるというところに使っていたのかもしれない。いやそうではなさそう。わからん。まあこれの証明したかったことはquasi-coherentな加群の層の順像と逆像はaffine scheme間であればまたquasi-coherentになること。逆像は右完全性からもともとそうだけど順像は微妙。随分前にやった順像と逆像の随伴性の証明のところを最初にやったときは全然理解できなくて記号的にやってたのに今見たら普通にわかって成長を感じた。Dedekind schemeのところを読んだ。次元1のNoether整閉整域という条件をそのままschemeに持ってきていていい一般化になっている。具体的には次元1以下のNoetherian integral normal (regular) schemeとして定める。Dedekind ringによるaffine schemeで被覆できるとしてもいい。例えば一変数多項式環スペクトラムとか1次元射影空間。こっちのほうが今までやった定義と似ているけど今までの言葉を使って定義したほうが見通しが良さそう。この上に可逆層を定める。局所環がその関数体の部分環になっていてDVRだからいい感じに各元 x \in X について関数体に離散付値を作れる。その後divisorを定めてその各元に対して可逆層が定まる。可逆層になることが一番大変そう。そもそも層になるのかまだピンときていない。とりあえずここまでわかった。日付超えてたし今日の分はここまで。