夏休み24日目

8/30(日) 晴れ

10時ごろ起床。マリメ実況を見ながらDedekind schemeについてすすめる。有理型関数の零点とか極を見るような層を作った。複素関数論との対応がここのところ多く出てきていて面白い。divisorの日本語訳がわからなかったので調べる。なんかいっぱい出てきた。訳は因子だけど本を見る感じおそらくCartier divisorの特別な場合を考えている。Weil divisorもあるらしい。Pic(X)との同型とかもあってここらへんは繋がりが深そう。Pic(X)はイデアル類群の一般化ということでその環を詳しく調べるという代数的なイメージがあるけどdivisorは複素関数の極と零点を調べているからいい代数と幾何の対応があるっぽい。

河田ホモロジー代数が復刊するらしい。前にメルカリで勝った値段の半額くらいだったけどまあ先に持っているというところの値段だと思う。最近よく見てるしいい本なので復刊は普通に嬉しい。藤崎ガロアみたいに復刊して一瞬で無くなるみたいなことになってもおかしくないのかも。岩波のやつでほしいのはだいたい買っちゃっているから新しく復刊されたやつで買うものはなさそうだけど。

午後は総会があったので参加する。全然知らないことなので理解できるかが怪しい。

可逆層になるかどうかの証明でわからないところが出てきた。書く。 \mathrm{Supp}(D) n_x = 0 となる x \in X の集合とする。特にDiv(X)の定義からこの元は有限個であるので x \in \mathrm{Supp} (D)に対してそれ以外の \mathrm{Supp}(D) の点を含まないaffine open subsetが取れる。更にDVR  \mathscr{O}_{X , x} のunifomizing element  \pi_x に移されるような元をとり適切に制限すれば x を含むaffine open subset  U_x \subset X  \mathrm{Supp} (D)の他の元を含まず、局所化によって \pi_x に移されるような元 s_x  s_x \in \Gamma (U_x , \mathscr{O}_X) として取れるようなものが存在する。このとき、さらに U_x を小さく取ることで、任意の y \in (U_x \cap X_0) setminus { x } について v_y(s_x) = 0となるようにできる。ここができない。 v_y  \mathscr{O}_{X , y} に作られる付値で X_0  X の閉点全体。 v_y(s_x)が0でなくなるような y が有限個しかないということを言えればいいと思った。 s_x  \pi_y を無限個因子に持つとおかしいとやろうとしたけどそのためには \pi_y たちが単元倍とか含めて一致しないということを言えば良さそうだったんだけどどこにおける単元倍を考えるのか、UFDとはかぎらないのにそこまで言えるのかみたいに色々問題が出てきて止まってしまった。普通にDedekind ringの性質を知らないだけだった。任意の0でない元を含む素イデアルの集合は有限集合という性質があった。はい。

無事可逆層になっていることが示せた。局所的に構造層と一致していたら全体で一致しないのかと思っていたけど実際見てみると同型の作り方が違うしそこらへんが原因で一致しないんだろうなという気分になった。それを考えてたら前にした証明が回ってない気がしたので確かめることにした。うまくいった。Dedekind schemeの例のところも一通り読めて行間も埋まった。可逆層の例が手に入ったのは大きい。11章でさらに一般化して出てくる。vector bundleの章だし因子は岩波の方の代数幾何学にも書いてあってそこでも曲線論で重要そうだったのでそこらへんがうまくつながりそう。

土日がもう終わってしまった。8月がもう終わる。早かったような遅かったような。あまり時間が早く過ぎたとか遅く過ぎたみたいな感覚がわからない。もうB3であることに対してはもうそんな早くかみたいな感じだけど。ツイッターで成績のことを言っている人がたくさんいたので明日発表なのかと思って確認したら明後日だった。B1は初めてGPAが出るしB2は専門になって初めてGPAが出るし気になることが多いのだと思う。B3は気楽なもんだと思ったけどどうも研究室配属に必要な人は結構たいへんらしい。結局他人事なのでよくわからないけど。

夏がもう終わってしまうがそこまで夏っぽいことしてない気がしてきた。まあ数学を夏の季語だとでも定義すればいいんだけど。9月になったらもう少し暑さが収まることを期待したい。パソコンの熱がすごくてキーボードの上がとんでもない熱さになってる。前はそこまででもなかったのに何がいけないのだろうか。キーボードも熱いから打ち心地が良くない。久しぶりに数学以外のことをここまで書いた気がするけどこれ以上書くことないしここらへんで終わりにする。