夏休み30日目 - 夏休みの日記

9/5(土)　晴れ

10時頃起床。リングフィットをした。予想に反して筋肉痛がそこまでない。良いことなのか悪いことなのかはわからないけど痛みがないという点で良いことだと思う。

昨日やってなかった証明を回す。結局はaffine scheme上の話にできるからわりかし楽に証明が回る。たまにはということでそのあとにあった主張を書く。

主張

$(X , \mathscr{O}_X)$ をlocally ringed spaceとする。 $\mathscr{O}_X$ -module $\mathscr{F}$ について以下は同値。

(i) $\mathscr{F}$ はlocally freeかつfinite typeである。

(ii) $\mathscr{F}$ はfinite presentationかつ任意の点 $x \in X$ について $\mathscr{F}_x$ は自由 $\mathscr{O}_{X,x}$ 加群である。

(iii) $\mathscr{F}$ はfinite presentationかつflatである。

これは加群について同様の結果が成り立ってることを使って示せる。(iii)⇒(ii)のところにだけlocally ringed spaceであることを使っていて、それもsemi-localかつそれぞれの剰余体上で剰余加群の次元が一致するくらいの条件を使えばいいだけだから必須の条件ではない。

午後は臨時総会があった。短い発表で聞きやすかった。ああいうふうに簡潔に説明できるようになりたい。録画されていたので終わったあと見返したら自分の声が全然違くて一瞬誰だかわからなかった。自分で聞く自分の声と他人が聞く自分の声に大きな違いがあるって本当なんですね。いくらzoomを通しているとはいえびっくりした。ビデオとかカラオケとかで自分の声を客観的に聞くことが今までなかったのでびっくりした。仲間内でビデオとか取ってる人たちはそういうの早めに気づいて違和感がなくなるものなのだろうか。

一回だけ使う補題を示すところがよくわからない。なんか毎回こういうのがある。主張は以下の通り。

主張

$X$ をschemeとしその有限部分集合を $Z$ とおく。そのaffine openな開近傍 $U = \mathrm{Spec}(A)$ が存在しているとする。locally freeで階数rの $\mathscr{O}_X$ -module $\mathscr{E}$ についてある $s \in A$ が取れて $Z \subset D(s)$ かつ $\mathscr{E}_{\mid D(s)} \cong \mathscr{O}_{D(s)}^r$ となる。

どうにもわからんので明日の自分に任せる。証明の途中で出てくる加群が自由であるというところを示すことができない。その代わり次のcoherent moduleについて先にちょっと読んでおく。岡潔が示した岡の定理とかいうのの主張が「複素解析空間の構造層はcoherent」でそのcoherentと同じやつとのこと。p進の方でも類似があるらしい。

定義

$(X , \mathscr{O}_X)$ をringed spaceとするときその上の加群の層 $\mathscr{F}$ がcoherentであるとは、finite typeであり、任意の開集合 $U \subset X$ と任意の0以上の整数 $n$ と任意の準同型 $\mathscr{O}_{X \mid U}^n \rightarrow \mathscr{F}_{\mid U}$ についてその核はfinite typeであること。

明らかに二つ目の条件が強すぎる。finite typeで取れる準同型に限らずどんなものでも核がfinite typeになるのすごそう。その後は外積とかdeterminantとかtraceとかやって第7章は終わり。どうやら証明の一部がBourbakiに投げられている。層というか半分くらいは加群の話をしてあとの半分でそれを層に適用させてる感じ。

ちょっと岩波の方の代数幾何学に目を通した。順番が全然違うのと幾何学に重点を置いているので違う視点で色々書いてあって面白い。これ以上書くこともないので今日の日記はここまで。