夏休み46日目 - 夏休みの日記

9/21(月)　晴れ

12時に起きた。昨日の夜3時くらいまで小説を読んでいたのが原因。昨日わからなかったところをもう一回見直しているけどよくわからんので一回飛ばして先を読んだら数行先でもうわからなくなった。まずわからないこととして $\mathscr{O}^n_S$ の部分加群 $x \mathscr{O}_S$ についてそれが直和因子になっていることと $x = (x_0 , \ldots , x_{n-1}) \in \Gamma (S , \mathscr{O}_S)$ と書くとき $x_0 , \ldots , x_{n-1}$ が $\Gamma (S , \mathscr{O}_S)$ で生成するイデアルが $(1)$ であることが必要十分かどうかということ。あと、 $\mathscr{L} \in \mathrm{Grass}_{1,n}^{I_i}(S)$ について $x_i \in \Gamma (S , \mathscr{O}_S)^{\times}$ となる $(x_0 , \ldots , x_{n-1}) \in \Gamma (S , \mathscr{O}_S)$ が存在することがわからない。 $I_i = \{ 1 , \ldots , n \} \setminus \{ i+1 \}$ になっている。locally free of rank 1だから局所的にはそういう生成する元があることはわかるん。いや $x_i \in \Gamma (S , \mathscr{O}_S)^{\times}$ になってるのはわかってないけど。しかもそれが $S$ 全体になるのなんかよくわからない。普通に読み間違っているのかもしれない。そもそも定義から $\mathscr{L} \in \mathrm{Grass}_{1,n}^{I_i}(S)$ はlocally free of rank 1かつ $\mathscr{O}^n_S$ の直和因子になっている。つまり $\mathscr{L} \oplus \mathscr{O}^{I_i}_S = \mathscr{O}^n_S$ となっている。これが局所的じゃなくて大域的にイコールだから全体で生成するような元があるのかもしれないけどなんかその方向でいくと $\mathscr{L} \cong \mathscr{O}_S$ となってしまってなんか変な気がする。つまるところまだGrassmannianに慣れていないというだけなのだけれど。同型を除いて同一視とかやってないし別に大丈夫な気がしてきた。それ考えれば別に普通にうまくいった。あれ。時間を置いてまた問題が発生しないか眺めておくこととする。

最近ブラウジングしてるだけなのにパソコンのファンの音がすごいし熱もすごいのでちょっと不安。流石にバッテリーが弱ってずっと電源差し込み状態になっているとよくないのかもしれない。壊れないように祈るしかない。ひとまず上のやつが一部分だけでも解決したのでせっかくだからパソコンとか椅子とかどういうものがあるのか調べてみる。椅子はいい感じのあったけどいい感じというだけで即決するほどじゃなかった。

バイト行って帰ってきた。バイト中にこれで上で言ってたこと証明できるじゃんと思ったら暗に体であることを課していたので駄目だった。とりあえず貼り合わせのところを確認して $\mathrm{Grass}_{1,n} \cong \mathbb{P}^{n-1}$ が示せた。きりが良いのでお風呂に入ってくるので今日の日記はここまで。夏休みは残り9日で8章は残り9ページなので8章まで終わるのはちょっと大変そうな気がしてきたけどまあヨシ。