3Q60日目 - 夏休みの日記

11/30(月)　晴れ

9時ごろに目覚ましで起きた。授業もバイトもないから目覚ましを切っておくべきだったことを目覚ましがなってから気づいて虚無になった。まあしょうがないので起きて配信とか見ながら数学をやった。

divisorの定義とか基本的な性質とかは昨日やったので今日はそれから誘導される層について取り扱った。１つ目はinvertible fractional idealとかいうやつ。total fractional sheafの部分層として定義している。また、divisorからその表示している元を考えて局所的な一元生成の加群の貼り合わせでイデアル層 $\mathscr{I}_X(D)$ を得た。これによってdivisorとinvertible fractional idealの間の群同型が得られた。結局total fractional sheafの中の包含関係で考えればよかったので局所的な貼り合わせが明示されているだけで十分だった。次はそれの逆元っぽい感じで層 $\mathscr{O}_X(D)$ を新たに作った。次の通り

$\Gamma (U , \mathscr{O}_X(D)) = \{ f \in \mathscr{K}_X(U) \mid f \mathscr{I}_X(D)(U) \subset \mathscr{O}_X(U) \}$

と定義される。特にdivisor $D$ を $(f_i , U_i)$ で表示したとすると、 $\mathscr{O}_X(D)_{\mid U_i} = \mathscr{O}_{U_i} f_i^{-1} \subset \mathscr{K}_{X \mid U_i}$ と表すことができる。これ使うと $\mathscr{O}_X(D) = \mathscr{I}_X(-D)$ 何じゃないかと思ってるんだけどどうなんだろう。もしそうだとするとあんまりこれを考えるメリットがないけどまあ記号的な問題なんだろうか。とくにこっちを採用することで $D_1 \leq D_2$ から $\mathscr{O}_X(D_1) \subset \mathscr{O}_X(D_2)$ が必要十分になっている。そこらへんをやりつつたまに本を読みつつ一日を過ごしていた。

今日は11月最後の日で明日から12月でもうそろそろ1年が終わってしまう。今読んでいる数学書もちょうど一年前くらいに読み始めたからもうそんなに経ったのかという感じ。他の本だったらページ数的にはもっと読めていたのかもしれないけど細かく丁寧に書いてあるこれだったから逆にここまで進めたのかもしれないと思う。とりあえずまだ飛ばすところはあれど読み進めるつもり。

最後にやろうとしていたところで止まってしまった。effective divisorについて定義から $\mathscr{I}_X(D) \subset \mathscr{O}_X$ でとくに可逆層だからquasi-compactであること使ってこれに付随するclosed subschemeが手に入る。それも $D$ と書くとき、 $D \cap U_i = V(f_i)$ であることが示せない。 $D = \mathrm{Supp}(\mathscr{O}_X / \mathscr{I}_X(D))$ を使ってやろうとしてもわからない。というかそもそも $f_i \in \Gamma (U_i , \mathscr{K}^\times_X)$ だから任意の $x \in U_i$ について $f_{i,x} \in \mathscr{K}^\times_X$ だから特に $f_{i,x} \neq 0 \in \mathscr{O}_{X,x}$ だからよくわからない。

悩んでも仕方がないのでお風呂に入ってきた。この時期の入浴は体が冷えるだけでほとんどメリットがない。かろうじて冷えた体で布団にくるまるときにいつもより温度の変化が大きくてちょっと暖かくなるくらい。

ちょっと考えていたらわからない原因が分かった。 $V(f_i)$ の定義を勘違いしていた。supportに引っ張られて $V(f_i)$ をその点における $f_i$ の芽が0になるものと思っていたけど、実際は $f_i(x) = 0$ となる点だった。つまり芽が極大イデアルに入らないことと同値だったからそれとsupportの方の議論をまとめれば $\mathscr{O}_X$ で可逆元であるかどうかというところで同値性が言える。さらに $f_i \in \Gamma(U_i , \mathscr{K}_X^\times)$ だからだめなんじゃないかと思ってたのも杞憂だった。つまり、別に $f_i \neq 0$ だからといって $f_i \notin \mathfrak{m}_x$ とは限らないというところで、 $\mathscr{K}_X$ で可逆元であるということはただ0ではないということしか言えていなくてそれは極大イデアルに入っているかという議論に全く関係がなかった。万事解決。

そのままの勢いで完全列も示して終わった。見た目綺麗だったので書いておく。

$0 \rightarrow \mathscr{O}_X(-D) \rightarrow \mathscr{O}_X \rightarrow \mathscr{O}_D \rightarrow 0$

ただし $\mathscr{O}_X$ -moduleとして考えているから実際は $D$ 上の構造層になっている $\mathscr{O}_D$ はそのclosed immersionによる順像を考えないといけない。証明は定義から明らかと言うかただの準同型定理だった。

その次はregularly immersed of codimention 1という条件のsubschemeとこの対応に依ってeffective Cartier divisorとが一対一に対応していることが書いてある。そんでもってちょっと前にやったDedekind scheme上の、とくに $\mathbb{P}^1_k$ 上のdivisorから作られる層についての演習問題を解いたときに参考にした命題を示す。多分principalとかの同値性のところだからwell-defined性とかのところで参考にしたっぽい。あのときの例はまさに付値を使って極と零点を数える形の層でいかにもmeromorphic functionだったのでまた見返しておこうとおもう。

寒くなってきたし11月も終わってしまったけどどうせ家からほとんどでないから適度に体に気をつけて過ごしていきたい。3Qも実質終わっていてもう授業もなにもない。クオーター休み的なのが一応出来た。研究室アンケートに一応書き込みだけはしてまだ送信しないでおく。絶対に忘れないようにしたい。今週金曜日までだから木曜日に提出しようと思う。

こんなところで日記は終わりにする。寝る前に本を読んで寝る。