4Q4日目

12/6(日)　晴れ

11時位に起きた。ダラダラしていたらお昼になっていたのでご飯を食べてゼミに参加する。あんまり理解できていないので見返さないといけなさそう。ゼミの最中に希望人数超過したから話し合いしないといけないというメールが来たのでさらに置いてかれた。思いがけなく本来の公開時期よりも早く全員の研究室希望一覧が手に入ってしまった。参考にしてもしアレだったら移るしかないかなとか思って眺めていたら代数を選んでる人がどうも例年より多いっぽい。代数学続論もあったし少ないかなとか思ってた分びっくりした。解析より多い。もしほかのところに移ろうとするとどっちにしろ3人になってしまうからちょっと、というかかなり悩みどころ。学年で人数が居たほうが良いのかよくわからない。

ゼミが終わった後は夜ご飯を食べた。

そのあとにprincipal Weil divisorについてやった。prime Weil divisorとこんがらがりそう。これで晴れてが定義できてさらにとするときしっかりが定義できる。とくに有限和になるために全体がnoether spaceであることが必要。ここまでならnoether schemeじゃなくても良いのかと思ったけどそもそもorder関数を定義するために有限性が必要でそこに局所環のnoether性を使っている。だから実際はpointwise noetherianかつnoether spaceくらいで定義できそう。というかこれはnoether schemeになるんだろうか。だけど残念なことにこれは単射でも全射でも一般的には成り立たない。そういうことなので補題を一つ用意してからnormalだったら単射に、さらにlocally factorialなら同型になることを示す。補題はUFD⇒PIDとか正則局所環⇒UFD⇒整閉整域とかnoether ringにおいてfactorialであることと高さ1の素イデアルがすべて単項生成であることが同値であることとかを使って証明した。codimensionが1であることがとても重要になってた。Weil divisorもそういうものだけ取ってるし。

単射性とか同型の証明はひとまず置いておいてゼミのときに少し話に出たから演習問題をちょっと解いてみた。3章は最初の方は簡単で頭の中である程度出来てあとは手を動かせば大丈夫みたいなのが多かったけど一つだけほんとにそれで良いのかわからないものがあったから実際に手を動かしてみた。問題としてはconnectedかつlocally noetherianなのにquasi-compactではないschemeの例。構成方法まで書いてあって、affine lineを可算個だけ一つ一つつなげていくようなものだった。結局開集合がわかりやすいかたちになる。張り合わせられる糊代が一点で開集合じゃないからschemeの貼り合わせをそのまま適用することが出来ないからその証明を思い出しつつ一点での張り合わせを考えた。実際それでうまくいくし結局開集合がうまいこと個別に考えられることに気づけばあとはすぐだった。面白いschemeを手に入れた。quasi-compactじゃないからaffine schemeにもならないし、かといってただのdisjoint unionではないから連結性も持ってて良い例になりそう。

明日はどうせ授業がなくてバイトだけだからまたゆっくり証明を書き出せる。いつのまにか1時近くなっていたので日記はここまで。