4Q9日目

12/11(金) 晴れ

7時に目が覚めた。犬の鳴き声で目が覚めてしまったっぽい。体が稼働しなかったので布団の中でスマホをいじっていた。9時くらいになって脱出して見逃してた面白そうなペックスのアーカイブを見ていた。その途中で昨日悩んでいた \mathscr{O}_{\mathbb{P}^n_k}(d) についてのことが分かった。つまるところやっぱり同型類だからとりあえず求めたい形のものを与えられたcocycleで張り合わせてそれと層として同型になることを言えばよかった。層としてじゃなくて各切断で同型を言えてしまうと思っていたのがおかしいところだった。これと全商環の層への単射が取れることを使って低域切断がd次斉次多項式全体と一致することが分かった。とくにこれは斉次な関数体の中と思うのではなく、 T_j / T_i による関数体の中と考える必要がある。と思ってたけどこれを書いていたら自身がなくなってきた。ちょっと一回置いておいて考え直す必要がありそう。open coveringにおける切断はそれ自身の関数体の中に入っていてそれらは互いにそもそも包含関係がともに成り立っているからその中に入るはず。あ、いやそもそもPicard群の元だからかならずしもそうならないのかもしれない。やっぱり同型類を見ているから共通部分は k [ T_0 , \ldots , T_n , T_0^{-1} , \ldots , T_n^{-1} ] の中で取ればいいし大丈夫そう。最初にあるdivisorで作られるときはしっかり全商環の層の中に入っているけどそれとは異なる同型なものを取っているから良いのか。

で、これがしめせれば何に使うのかまだわからないけど大域切断のベクトル空間としての次元が分かる。まあ有限次元っていうのとさらにその値までわかるのはそれ自身とても嬉しいけど。

授業は複素解析がまずあった。一次分数変換についてやった。こんな単純な形で自己同型群が書けるの面白い。非調和比というのもやった。一次分数変換がこれを保存することとか円であることを変えないとか3点だけで決まるのとか綺麗。

位相幾何学は単体複体についてやった。やっと図形を分解できるようになってきた。単体分割とかでてきたのでこれからが更に楽しみ。

お昼の時間にも上で言っていたことを考えていた気がする。まとめて書いちゃったけど。ちょっと続きをやった。今度はprojective schemeではなく、 \mathbb{P}^{n_1}_k \times_k \cdots \times_k \mathbb{P}^{n_r}_k というより高次元のものを扱った。まずは一つのときと同じようにそれぞれの変数について斉次な多項式についてdegという関数を定め、今度は \mathbb{Z}^rとの同型を作り始めた。そこでこれを計算しやすい \mathrm{Cl}(X) と同型になることを示そうと思ったけどここでそもそもclosed subschemeがどういう形をしているかがわからなかった。といったところで結構前に2つの場合にやっていた気がして見返したら案の定あった。結局今は一元生成のものしか考えていないからそれを一つづつ選んだ変数について非斉次化してそれのaffine schemeにおけるclosed subschemeを考えれば良いことが分かった。与えられたfiber productが D_+(T_{1 i_1}) \times_k \cdots \times_k D_+(T_{r i_r}) で被覆できてこれについて考える。すると各変数についての斉次性からなんやかんやうまくいった。これが出来てしまえばあとは一つのときと同じ議論が使えた。一件落着。これより

 \mathrm{Pic}(X) \cong \mathrm{DivCl}(X) \cong \mathrm{Cl}(X) \cong \mathbb{Z}^r

というきれいな関係式が成り立ち、とくにこれは不変量だから自明ではないprojective scheme同士のfiber productが絶対にprojective schemeにならないことが示せた。かなり強力な結果を導出した。

授業は最後は確率論だったけど講義資料を印刷していないこととやるきが続いていないこともあって来週の成績発表による単位数によっては切ることも視野に入れている。レポート2回だから良いかとは思ったけど普通に大変そうだし。

そんなこんなで授業を途中で聞く気が無くなってしまったのでせっかくということでadic空間とかperfectoid空間について知らべてみていた。やっぱりこういうそれほど抽象的すぎない空間の話がとてもおもしろい。adic空間それ自身もとても面白そう。というかそれをしらないと何も出来ないんだろうけど。

その後はご飯食べたりお風呂入ったりしていながらDedekind schemeにおけるdivisorを考えた。とくに7章で考えていたものと実際に一般論が一致していることを確かめた。一箇所inverseがついて逆の対応になっているところがあったけどまあそこまで面倒ではなかった。とくにdedekind ringのaffine schemeを考えるとこれがイデアル類群と一致していることもquasi-coherent moduleとかの対応を考えてうまくいった。一般論が適切に作られているという感じ。

その後はprojective scheme上の自己同型群の決定を行う。だけどここで1章で定義したように写像を作ると言っているけどそれはあくまでprojective spaceだから困った。しかも今は体が代数閉体ではないので一概に圏同値だからとはいえなさそう。ということなので写像を1章を参考にしつつ自分で作ってみてみている。だけど各被覆の上での同型は言えたけどそれが全体としてしっかり同型になっているかわからなくなってしまった。共通部分とかのwell-defined性が怪しい。結果としてわからずこうやって日記に書いているのでまたあしたに持ち越し。明日は一日暇なので考える。日記が数学のメモ帳になってきた。まあいいでしょう。ということで日記はここまで。