4Q17日目 - 夏休みの日記

12/20(日)　晴れ

11時前に起きた。午後はゼミがあるからそれまで問題の続きを解いていた。local ringについてその極大イデアルの像と局所準同型でうまいことさだまるみたいなこととそれをつかってlocal ringからprojective schemeへの射がaffine schemeのと同様にある一つの元で表すことができることをやった。

午後のゼミはそれまで解いていた問題を発表した。一箇所frobenius射を使った問題のところで反例を上げるだけだったけどとてもおもしろい話が後ろにあって楽しかった。問題で探していたのは大域切断上でfrobeniusが同型だけどschemeとしてはfrobeniusは同型ではない例だった。そうではなくそもそもfrobeniusが同型になるようなものは何かを考えたときに思いっきり可換環論の議論を使った。perfect fieldを商体にもつ必要が出てきて、その場合DVRの付値を考えるとそんなものは存在せず、つまりKrull環であることから体になるというところ。Krull環とかは使ったことがなかったから詳しいことはわからないけどこれを使うと特に整域に帰着させることを考えれば、frobenius射が同型になるようなlocally noetherian schemeは次元が0になることがわかる。任意の点が閉だから。これはschemeだとすごい強い条件で実数とかとは違う。となると変なものを作る必要があって、その中の一つとして $\mathbb{F}_p [ T , T^{-1} , T^{1/p} , T^{-1/p} , T^{1/p^2} , T^{-1/p^2} , \cdots ]$ とかが取れる。これに似た環として[tex: \mathbb{F}_p *1(t^{1/p^\infty}) ]とか $\mathbb{Q}_p(t^{1/p^\infty})$ がperfectoidの話に出ていてやっぱりfrobeniusとかがうまくあつかえる対象を考えていそう。

そのあともいくつか解いて最後の方に雑談して8時位に終わった。楽しかった。院試～ってなったけど。

その後はご飯を食べて配信見ながら本文の方を読んだ。integralなとき誘導されるaffine schemeの射がclosedになることの類似としてintegral morphismは閉写像であることを示した。さらに、finite morphismがあるとき、locally finite free $\mathscr{O}_X$ -module of rank rとlocally finite free $f^* \mathscr{O}_X$ -module of rank rが対応することをやった。ここで結構前に証明できてなかった命題を使ったけどとりあえず保留。とくに証明の中で一点のファイバーが有限集合になっていることをやった。finite性がbase changeで不変であることから次元0とかになるところから言える。

途中でM-1をちらっとみた。錦鯉だかなんだかのパチンコのネタが面白かった。

その後はquasi-finite morphismを知った。finite typeかつファイバーが有限集合になることとして定義した。いい感じに少し緩めたfinite morphismっぽくなってる。その後のremarkでquasi-finiteだからといってfiniteと限らないことが書いてあった。quasi-compact open immersionはとくにfinite typeでファイバーも一点でquasi-finiteになるけどもしこれがfiniteになったとするとclosed immersionにもなってclopenなものに限ることになってもう難しそう。続きは眺めるだけで書いていないので明日また丁寧にやる。

配信が終わったら寝ることにして今日の日記はここまで。

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