4Q23日目

12/26(土) 晴れ

昨日の分の日記を書いてからこれを書いている。書き始めた瞬間に昨日の曜日を間違っていたことを思い出して書き直した。

昨日夜ふかししたから朝は11時位に起きてゲーム実況を見返していた。どうも気が乗らないので掃除をした。ここで掃除しておけば数年は大丈夫だろうという目論見で。とりあえず全然使っていないデスクトップパソコンを片付けるべく、まずはバックアップを取った。そのために場所の整理とホコリの排除をやった。ホコリが溜まりすぎているのと、もう10年以上昔からあるパソコンだから下手に電源つけて発火しそうで怖かった。それと並行して机の上とかファイルとか整理していたらもう19時近い。

とりあえず机の上に合ったモニターと言う名の置物をどかすことが出来て机の利用可能範囲が軽く2倍以上になった気がする。デスクトップの方のモニターにノートパソコンの方をくっつけてできるかと思ったけどHDMIのでかいやつだしちょっとゴテゴテしてしまうとおもってやめた。いい感じの接続ドックみたいなのがあればよかったけど。

デスクトップのほうはwindows7だしもうネットに繋げられない。というか7年位前の結構やばめのファイルとかデータとかあって繋げられない。今はもう手に入らなそうなものもたくさんあった気がする。

ところどころで演習問題を考えていたけどやっぱり全射性が言えない。明日のゼミまでに出来なかったら相談してみようと思う。本文の方はあまり考えてなかったからこのあと考えてみる。

なんもわからんので本文の方を進めた。わからんところを飛ばしてそれを使ってるところまで進んでみようと思う。といったもののまた止まった。射がfinite locally free であることを定義した後にflatting stratificationを使ってschemeをdisjoint unionにわけるところで分けた一つ一つがfinite locally freeであることがわからない。地の文には前に示した順像と逆像の可換性を使えばいいと書いてあるけどどうもそれだけでうまくいかない。flatting stratficationの方は逆像がlocaly freeであることが言えて、finite locally freeを言うためには順像を考えないといけない。全然うまく行かないのでなにかないかと思って調べてみても少なくともstacks projectには書いてない。仮定がfinite locally freeで始めているのはあったけど今回はfiniteの仮定だけだから厳しい。

と思ったら解けた。構造層の逆像がまた構造層になることが何故か頭から抜けていた。ファイバー積の層わかんないからうまく繋げられないなとか思ってたのが一瞬で解決した。その流れで証明を最後までやった。せっかくなので主張を復習がてら書く。

主張

 f \colon X \rightarrow Y をfinite なscheme morphismとする。このとき、非負整数 r について、 Y のsubscheme Y_r で次を満たすものが存在する。条件は Y は集合として Y_r たちのdisjoint unionになり、さらに f^{-1}(Y_r) \rightarrow Y_r がfinite locally free of degree  r になるというもの。ここで f^{-1}(Y_r) schemeとしての逆像をとっている。

さらに、任意のschemeの射 T' \rightarrow T について、これが Y_r を経由することと、base chanage  f_{(Y')} がfinite locally free of degree  r になることが同値。

2つ目の方は1つ目が分かればすぐだった。1つ目のところも上で言っていたところが分かればあとはflatting stratificationの定理を使えば確かめることは少ない。とはいいつつもflatting stratificationの定理を証明していないからアレだけど。

なにはともあれ解決したので嬉しい。あとの残りは演習問題の方。これは如何ともし難いしそういえば付値環についての問題を解くの忘れてたから明日のゼミの前にやっておきたいかも。解けるとはいってない。

perfectoidのやつを最近チラチラ読んでいて色々探したりしていたら一個日本語の良さそうなやつを見つけた。具体例が相変わらず複雑。

もう2時だったので寝る。