4Q47日目

1/19(火)　晴れ

9時になった目覚ましを無視して10時に起きた。授業があるので頑張って起きた。

最初は複素解析でリーマン面の話の続きをやった。局所的な性質である一致の定理とか最大値の原理とかを紹介して、その後に微分係数がうまく定まらないけど位数は定まることを見た。

お昼休みには考えていた証明をとりあえず書き出してみてうまくいくことを確かめた。射の可換性を一意性から導けば良いことに気づけたので良かった。こういう感じで気づけると逆に続きを読むのが遅くなってしまう。

午後は位相幾何学を受けた。Mayer-Vietris完全系列をやった。そのためのwell-defined性とか具体例の計算をした。授業はそれだけだったけどその後にレポート問題を解いてみた。ただ一箇所授業の最後の方に少し言及されていたことを使いそうでそこがわからなかったのでとりあえず最後の詰めは次の授業を受けてからにすることにした。

その後はyoutubeとか見て夜ご飯を食べた後重い腰をあげて続きを読んだ。整閉包の有限性に十分な条件を考えるためにexcellennt schemeを考えた。ここらへんに載っている反例が全部永田雅宜によるもので流石だった。多分もともと可換環論の話だろうと思って松村可換環論を見てみたらやっぱり書いてあった。そこには強鎖状かつG-環かつその環の上の任意の有限生成代数のregular locusが開集合をexcellent ringとして、前の２つの条件でquasi-excellent ringとしていた。だけどこっちの本だと強鎖状のあるなしで定義を変えていたのでわりと本によるものなのかもしれない。ひとまずそれで言葉の準備をして、証明はEGAに投げられていたけど、normalizationの有限性とかexcellent schemeのクラスがとても大きいこととかが書いてあった。でもこの話を使わずに直接整閉包の有限性を証明していたのでそこを読んだ。

少し認める事項が書いてあって、その後正規化定理とかを使って多変数多項式環にしたりガロア拡大と純非分離に帰着させていたけど、純非分離のところがわからない。正規な有限次体拡大について自己同型写像によって固定される体をとするとき、が純非分離拡大であることが示せない。もうここまで認めてる事項があるから良いかと思ったけどここは本当に行間なのでなんとか示したい。定義がどうだったかとおもったけどそもそも元が分離的の定義がこの本には書いてなかった。まあ代数学続論に依るならその元で生成される体拡大が分離的でもいいし、最小多項式が重根を持たないでも良い。

なんか眠くなってきてしまったから明日また考えてみようと思う。無難に一つ一つ元をとっていってやればいいという直感はあるけどあってるのかどうか。