4Q48日目

1/20(火) 晴れ

10時に起きた。何も予定がない日なので数学をして映画を見た。よくわからなくて放置していた、固定体とその下の体との拡大が純非分離的であることも、元を取ってきて定義の通りやればいいだろうと想像していたとおり、最小多項式の根が自己同型で移り合うことと正規拡大を取れていることを使えばうまいこといけた。その後はほとんど本文の通り有限次拡大とかで何度か取り直して簡単な場合に帰着してできた。これでintegral locally finite type over kなschemeの関数体の有限次拡大における正規化は有限であることがわかった。excellent schemeの性質を経由しない直接証明ができた。

そして演習問題になっていた、このような場合ではnormal locusが開集合になることも示した。結局normal性がnormalizationとの局所環の同型に帰着されるから射の延長を有限表示型のときに使えることからうまく言えた。これで正規化が有限表示型であるようなintegral schemeのnormal locusが開集合であり、locally noetherian schemeで任意の既約成分が正規化を有限射で持つとき、またそのnormal locusが開集合であることが言えた。

また、その後にKrull-Akizukiの定理というのが出てきて一般には次元が1のnoether環の正規化は有限ではないが、noetherであること、とくにDedekind ringであることを使った。完全に可換環論を局所的に用いていてただ事実を利用するだけになってしまったけど。

午後はアラン・チューリングの映画であるイミテーション・ゲームを見た。前のビューティフル・マインドといい暗号解読についての話だった。登場人物にはかっこいい人が多くてよかった。

夜は正規化が一段落してproper射についてやった。定義の前のコンパクト性の同値条件について全然わからなくてstacks projectとかを読んでとりあえず証明は追ったけどいまいち馴染んでいない。だけどproper射を考える気持ちはとてもわかったのでとりあえず書き出しはせずに証明を読んだだけにとどめた。ポイントとしてはいっぺんに絶対閉であることを言うのではなく、一回base changeが閉になることを使うのが良いということと、いわゆるTube lemmaというものとコンパクト性の直積環を使う同値条件についてだった。これについてはツイッターで見覚えがあったけどそれとは違う証明だった。ひとまずそれでproper射を定義して、まだ証明しないものが多いものの、いくつかの例を見た。気持ちとしてはアファイン空間はproperになってほしくないのでその反例を見た。だけど像の決定ができず、閉写像ではないことを言えなかったので次の日に回した。

ちなみにこれは次の日の1/21に書いていてそのときにはこれは解決した。今日の日記はここまで。