夏休み(2021)5日目

8/11(水) 晴れ

5時に起きた。違う目覚ましがなってもともと設定していた6時よりも早く起きてしまった。昨日も実質寝たのが11時過ぎくらいだから睡眠不足になってそうだけどあんまりその感じはない。でも早く起きた分寝るのも早くなるはずだから一週間くらい前から調整するのはちょうどよかったのかもしれない。

院試ゼミでは今回は全部過去に解いたやつだったからなんとかなった。一つ多項式の一様収束先のところで有界性から自動的に次数が0以下になることとかのほうが楽だということをしった。あと開基の意味に宗派があるとか。

微分が出てきたときに積分を考えるとかinfが出てきたときにRoucheの定理を考えるとかそういう引き出しが増えてくるの勉強してるって感じがする。平均値の定理でうまく行かないときには微分したやつの積分を評価してみると良いというのは頭にしっかり入れておきたい。あとはテイラーの定理とか。

専門科目は幾何を聞いただけだったのでひと足早く終わった。そこで少し連絡とかを済ませてちょっと用事が追加されたのでその時間まで昨日また寝るときに思いついたことを試してやっと忠実平坦性が示された。結局の所拡大して全体になるときは1をその極大イデアルの元の像で生成できていて、その元がsupportに入ってるような延長した付値が取れるから1=0で駄目だという話だった。そういう延長可能性を言うためにもうまく全体の被覆を取ってくる必要があって納得した。あと忠実平坦ならば単射というのを知らなくて証明を読んだ。証明というか忠実平坦性の同値条件からすぐに出てきたけど。係数拡大への射が単射というやつ。

用事を済ませて少し考えないといけないことができたので院試勉強を疎かにしすぎずちょっと悩んでおきたい。

その後は前に示した命題を使ってひとまずstrongly Noetherian Tateはsheafyであることを示した。原論文の方の証明でも良かったけどそれよりもstably uniform Tateのときとほとんど同じように話が進んでいくのがとてもすごい。結局はsimple Laurent coveringのときの完全性を示せば良くてそこにstrongly Noetherian性を用いるか冪有界元の局所判定法を使うかどうかというところだと言うのに日記を書いてて気づいた。Cech cohomologyからcohomologyの話に移行するのは一般論で行けてるし本当にそこだけっぽい。冪有界性の局所判定法はTateとそのstandard rational coveringだったら成り立ってるしあとは有界性かNoether性かみたいなところがある。

本当はそれを元に加群テンソル積によって得られる前層が層になることを示したかったんだけどなんかうまく行かない。Cech cohomologyへの加群テンソルテンソルしたやつのCech cohomologyなんだっけ。etale cohomologyのときは成り立ってないみたいな話だけ知っているからなんかわからん。

そういうわけでそれも一回置いておいて他の年の院試をとき直した。代数の問題とか微積の問題とか。代数の方は割となんとかなるようになってるけど問題は微積。上で書いたような積分に書き換えたり極限操作をうまく扱う方法がちょっと馴染んでない時がある。発散する点列を取ることに依る収束性の議論とかは良い感じの集合列を取ってきてそれがすべて非有界であることを示すとか忘れてた。とはいえなんか一度解いた問題はなんか飽きてしまうので終わりの方はあんまり書かず代数の問題を頭の中で方針だけ立てていた。まあそれだとGalois理論の問題とか簡単になっちゃうんだけど。

明日はまた一日通して一年分を解く。そろそろ迫ってきてる感がある。でも今週末の最後の院試ゼミが終わったあとの数日どうしよう。また何年分かを解くか。

今日は朝が予想以上に早かったしなんかだんだん眠くなってきたのでお風呂に入ってからすぐ寝れそう。というわけで今日の日記はここまで。