3Q(2021)21日目

10/21(木)　晴れ

10時過ぎに起きた。午後の授業まで途中ご飯を食べて昨日の続きをやった。まずは起きてから考えていた写像のテンソル積の核がわかりやすい形になる場合を考えてそれを今やりたいことに適用できないか考えた。ある程度平坦性とかあれば核を使ってテンソルで書けることがわかった。それで一つは解決したけどもう一つは平坦性がない気がして使えなさそう。あとtorsion freeについて使えないかと思ったけど結局最終的には単射性を示すためにそれが使えなさそうでどうしようかってなってる。平坦性が示せるんだろうか。

それで考えてたんだけどそもそもそれを使って解決したことは結局almost isomorphismはalmost finite etaleであることを示したところだったんだけど一般には示せなかった。それでどうしようか考えていたけどそもそも今示そうとしている圏同値ではalmost isomorphismでの誤差を同一視するとなっていたのでいらない気がした。帰着させるのにそもそもalmost isomphismでつながってればそれで十分みたいな。こういうところhomotopy categoryみたいなやつと似てる。射を潰す的なやつ。だから結局torsion freeのところを解決するためにはそれが使えなかった。残念。

あとはSerre部分圏を用いてalmost moduleの圏を構成する方法を読んだ。これは日本語の文献があったのでそれを読んだ。読んだと言っても流れを知っただけで商圏をどうやって取っているかとかそこにおける対象はもとの圏と同じだけど射が潰されているとかを知った。あとその上のalmost algebraの定義が複雑なことを知った。自然なalmost moduleのテンソルがmonoidal categoryの性質を満たしていることを示してそれのmonoidal対象がalmost algebraと言われているらしい。そのテンソルを使って平坦性とかを定義していてそれがいわゆる今で言うところのalmost flatとかだと思う。でもまあこれでやりなおそうとすると最初からalmost mathematicsをやらないといけないことになってしまうのでひとまず今はalmost purityの証明を終わらせる。

授業を受けた。なんかもうわからん。最後の方エタールコホモロジーが出てきたけどそもそも知らないのでわからんかった。

授業終わってからバイトまではalmost purityの続きを読んだ。一つalmost mathematicsの定理を認めた。perfectoid上のalmost finite etaleの圏とその剰余の上のalmost finite etaleの圏は圏同値になること。でも参考にされていた命題からどうやってそれが導出されるのかわからない。まあひとまず認めてstrongly finite etaleの圏とtiltしたあとのfinite etaleの圏の圏同値性をバイトを挟んで示した。結局剰余を取ってtiltと同型になることを使って示した。あとはそれぞれのところで結構圏同値が言えることを使ってperfectoidの剰余の場合だけ考えれば良いようにしたから出来た。

あとはなんかダラダラ過ごして2時前になっていた。そろそろ寝ようと思う。明日は今日の続きをやる。そろそろ終りが見えてきた。perfectoid体の場合のalmost purity theoremを見直すらしい。あとできれば今日認めた定理をどうやって導出できるか考えてみる。今日の日記はここまで。