3Q(2021)41日目

11/10(水) 曇り

10時に起きた。午前中は今日やるところを読んでゲームしてた。untiltingを考える。前に示したaffinoidにおけるuntiltinの構成をperfectoid space全体でやりたい。そのために層を定義したり忠実充満性を示したりした。

午後はまたその続きをやって圏同値を示した。結局やっぱり局所的なやつを張り合わせていたのでそんなにやることはかわりないのかもしれない。示したいところまで示せたのでdiamondの方に戻った。まずはschemeのときについてやったような射の表現可能性についておさらいした。あと改めて午前中に示したことを書き換えた。もともとuntiltを取るためには情報が少なくてそのためにはイデアル層が必要という感じ。perfectoid space全体の圏が標数pのperfectoid spaceと何らかのイデアル層の組からなる圏の上のcategory fibered in setsになることを示した。そもそもこの概念を知らなかったけどfiber bundleみたいな感じっぽい。わからんけど。値域側でfiberが取れてるなら定義域側も取れてるとか三角の図式があるならそれが一意的に持ち上がるとか。ちまちまそれを確かめた。これを考えると本当にあるのは標数pのperfectoid spaceの方で標数0のやつとか含めたのはその上に構成されるって感じする。

その後はpro-etaleとpro-etale coveringを定義した。pro-etale coveringが位相空間においてquotient mapになっていることを示すところで止まった。affinoidに帰着してるけどそれがまず良く出来ない。値域側はaffinoid perfectoidになるけど定義域側が有限個のaffinoidからなる被覆くらいでしか取れない。定義域側がspectral spaceになれば良いんだけどquasi separatedが満たされているかわからない。有限個だしできると思ってたんだけどそしたらquasi-compactからquasi-separatedが満たされることになってしまってなんか変な気がする。なのでもう少しちゃんと帰着の方法を考えないといけなさそう。今見てるやつの新しい方を改めて読んでみることにする。

もう3時前になっていたので寝る。明日は午後に授業とバイトがある。そういえば集中講義が対面でも受けれるらしいけどバイトにかぶりそうで厳しい。バイトを休んでまでかと言われると怪しい。まあ明日は午前中に今日の続きをやることができるはず。