3Q(2021)45日目

11/14(日)　晴れ

11時過ぎに起きた。午前中には真・女神転生Vを買うために初めてpaypayとかを導入してみた。ちょうどいいタイミングでできたっぽい。

午後はまた数日前からの続きをやった。表現可能関手が層になることを示したい。まず問題が構造層から定まるpro-etale site上の前層が層になっていることを使っていることだった。これはまた別個に示せそうなのでとりあえず放置している。この事実を使うためにaffinoidによって表現される関手が層であることだけを示せばいいという帰着のところが全くわからなかった。affinoid perfectoid open coveringを取ることで代入するやつがaffinoid perfectoid上のpro-etale coveringで良いことはわかった。だけど表現対象がaffinoidの場合だけ確かめれば良いことがわからない。それがわかればよくあるHomの随伴性と構造層の話から従う。

問題はaffinoidに帰着するところでとりあえず単射性については問題なく出来た。equalizerのところが被覆からの射が伸びてるやつをもとのやつからの射にしたいけどそこがうまく回らない。値域側のaffinoid perfectoid open coveringを取ってその逆像が一致しているからそれを被覆として持たせたいんだけどなんか出来ない。像が開集合かどうかわからないので層構造が入ってくれない。

色々見てみてschemeの場合のetale siteのときと同じ証明ができないかと思って考えてみたけど、そもそもどの文献もあんまりまともに書いてない。さらにstacks projectに書いてあった証明はfpqc位相の場合で示していてその場合の議論がよく理解できていない。standard fpqc coveringというのを取らないといけないんだけどそれがうまく取れない。その議論のところをschemeのpro-etale topologyについての論文の命題を一つ引っ張ってきて結局affinoid perfectoidの間の全射について完全性が示せればいいというところまで持ってきた。そこではZariski coveringで層になっていることを使っているけどこれはHomの性質からさすがに大丈夫なはず。後で示すことにしている。この証明を使う場合はあんまりaffinoidへの帰着というのはやらなそうだけど。

そのためにはまだ一箇所その証明で回ってないところがある。つまりあと示さないけ無いところは、ある特殊な形のpro-etale coveringについて層になっていること、Zariski coveringについて層になっていること、affinoid perfectoidの間の全射について完全性がなりたつこと、の3つになっている。2つめと3つめについてはまだ真面目に考えてない。1つめは考えてるけどわからん。affinoid perfectoid上の被覆であってaffinoid perfectoidのdisjointになっているものについて層になっていることを示したい。ちょっとわからないままなのでZariski coveringについて層になっていることを示すことにする。

ひとまずZariski coveringについてはできた。これをやったことでよくわかってなかった一つだけの被覆の場合の貼り合わせというのがわかった気がする。ファイバー積を取ったところで一致しているときその被覆を取ることで共通部分が出てきてその上で一致していることが言えてる感じ。そのノリで1つめの場合を考えてみることにする。とりあえずequalizerの完全性についてだけ示せれば良いことはもうわかっているのでそこを考えていた。いい感じにファイバー積による開被覆とか考えて仮定を使って示せそうな気がしてきた。

とりあえず明日は午前中に授業があるからその前にファイバー積のファイバー積による開被覆を取ったところに層の仮定を使って作ってみようと思う。今日の日記はここまで。