4Q(2021)3日目

12/5(日) 晴れ

11時過ぎに起きた。昨日は外出して疲れたのか結構ゆっくり寝た。昨日買った十三機兵防衛圏の本を読んで過ごした。

あと昨日電車の中で考えていた論文の行間についてちゃんと書き出した。もともと関係式一つに対して一つのpartial algebra modificationを取っていてそれで自明化されると書いてあったのでなんかそれが使えるのかと思っていた。だけど使えなかった。それでも他の方向で解決したのでそれをメモしておく。

もともとpartial algebra modificationについて最初に書かれたであろう論文に書いてあったalgebra modificationについて、任意の列がbadでないこととbig CM algebraを持つことは同値と書いてあったのに気づいた。今は次数を有限で止めてるからそれはそのまま使えないんだけど絶対これだと思ってその同値性の証明をやっている論文を見た。なんかその論文は印刷されたのをコピーしただけなのかPDFがガサガサしてて読みづらかったけど読めた。そもそもその論文では任意のs.o.pとそれらの任意個からなる任意の関係式全部を自明化するような巨大な環を作ってそれをひとまず極大イデアルで生成される部分加群が1を含むかどうかはおいておいていた。そういうのをpossibly improperという接頭語をつけている。当然作ったものはpossibly improper balanced big CM algebraであってそれに射が伸びるんだけどpossibly improperがいつ外れるのかを考える。そもそもlocal ring上の話に限ってよいのでそれで探してみたらallowableという条件で言い換えていた。badではないということみたいな。するともともとの環がallowableならば構成したものはbalanced big CM algebraになるということが示せていた。というかこれは定義だけど。構成とかはちゃんと追えてないけどやってることは代数閉包の構成と同じ感じで無限変数多項式環をその変数に対して一つづつ関係式を対応させて割っているだけ。そうやっって無理やり作ってるからpossibly improperなんだけど。さらにpartialではないalgebra modificationも考えて、その任意のs.o.pからなる任意の関係式による任意の有限列がbadではないことと構成したものがallowableであることが同値ということも示せていた。これはあんまり証明が読めてない。

ここでこれでいいと思ってたけど作ってるのがalgebra modificationであって、有限次数で止めてないのと、今は一つの関係式だけについてしか考えられないことに気づいて少し考え直した。まずもともと構成したでかいpossibly improper balanced big CM algebraについては関係式に関する自由度をなくせば同じことができる。ただしbalancedが外れるけど。これは外れていいので外した。そしてalgebra modificationはbadかどうか判定するだけだから次数に関して順極限を取ることでpartial algebra modificationについてbadかどうか判定すれば良いことに出来た。ここで一つの関係式に限定するということが効いてくる。一つの関係式に限定することで使える補題があって、それを使うとどんな列でもbadではないことがすでに示せている。これで終わる。

一段落してから他の文献をチラチラ見てたけどこのことからalmost big CMを持つならbig CMを持つことが言えるらしい。ちょっと考えてみたけど証明の一部を流用することで出来た。結局badではないことをしめすところでalmost regular sequenceを使っていてむしろそこだけ取るのが大事(あとは分離性)だからいける。

これで主定理の一個前の補題が示せた。だけどやっぱりこういう命題は証明とか主張は頭に入るんだけど仮定が入ってこない。多分p-torsion freeな環からのtorsion freeな射であってalmost finite projectiveくらいで良いと思うんだけどどうだったのか確認する。普通にalmost CM忘れてた。あと今見て気づいたけどこの命題自体がalmost CMを持つならばbig CMを持つの証明になってた。

主定理を示した。サラッと読んではいて、いくつかわからないところあるなということでひとまず何がわからないのかを確認しながら全部読んだ。regular local ringの剰余体を完全体にできることとか、テンソルとったあとのKrull次元とか、直積になることとか、わからなかったけどやっぱりいちばんわからないのは帰着させたときに仮定を満たしているかどうかだった。というかtorsion freeがわからん。base changeで保たれるのかあやしい。両方ともtorsion freeならテンソルしてもtorsion freeなんだっけ。忠実平坦使って単射だからってやろうとしたけど向きが違った。

そういう結構わからないところがあるけど大事な構成の部分は意外となんとかなった。perfectionみたいなことをして、そこへbase changeをして整閉包を取ってそれがalmost CM上のalmost finite projectiveだからbig CMを持って、その完備化はbalanced big CMになるってやった。

最後の系を示そうとして止まった。直和因子予想の特殊な場合の証明になっているんだけどsplitすることを局所的に見ることの正当性がまずわからなかった。他の似たような命題の証明を読むことでExtを見れば良いことを知った。こうやって使うのかって初めてちょっと掴めた気がする。でもその後わからなくなった。結局etaleがわかってないだけなんだろうけどetale射の局所化はsplitすることが分からん。体の場合みたいに直積になるんだろうというのはなんかlecture noteに書いてあってそのときtraceを考えればいいとなっていたんだけどそれがよくわかってない。夜中になってあんまり頭も動いてないからぼんやりと考えてるけど出てこない。まあetaleを勉強しろという話。

明日は4Qの授業が始まる。シラバス出てなかった授業がどうなってるのか確認してみる。朝起きるためにそろそろ寝ても良いかもしれない。バイトもあるからこれから月曜日は忙しい曜日になりそうな予感。そういえば代数学の録画見ないといけないけど見れてない。我ながら一度見ないとずっと見ないという予想通りになっていてびっくり。講義ノート見ても頭に入ってこないだろうしなんとかしたい。いつの間にか3000字近くも書いていた。今日の日記はここまで。