4Q(2021)22日目

12/24(金)　晴れ

12時前に起きた。ここ一週間で初めて一日なにもない日だったので読みたいところを頑張って読み進めた。最初は例をやって、finite coveringのときにfpqc coveringになるかどうかを判定したくて、そうならないものをやった。normalだとだめで、でもやっぱりregularならうまくいくというのを見た。これでbig CMの存在性を幾何学的に解釈できた。大事なところはbig CMであることとfaithfully flatであることの同値性とからしい。

その後はKunzの定理の幾何学的解釈としてFrobeniusがfpqcになることとかをやった。あと少しだけだけどfinite canonical fpqcだけどfppfにならない例とかやった。知らない言葉が多くて雰囲気だけだけど結局big CM algebraが存在しないことをうまく使って、存在するなら有限なところに分解できたりCM性の降下性とかを使って任意標数で構成できることを使った。

次には前に読もうとしてalmost perfectoidの知識がなくて読めなかったweak functorialityについてのところだった。スペル合ってる気がしない。fpqc coveringによって取れるfaithfully flatについて関手性、つまりちゃんと射が伸びるか否かを考える。これは解決されているらしく、その前に読めなかった論文の結果を用いてとりあえずregular上のfinite coveringについてなら成り立つことを示した。いくつかわからないところがあるけどそこをメモして後で聞くことにした。

あとはfinite coveringから生成される位相と他の位相についての関係性を見た。sectionが取れるとかよくわからなかったけど自分でそこを証明してみたら意外と納得いった。最初にちゃんとGrothendieck topologyについて見ておいてよかった。ここでびっくりしたことに全然関係ないゼミで紹介してもらった位相に関する論文がここで引用されていた。fppfとかfpqcとかcanonicalとかのsubcanonicalな位相をwell-behavedとして扱っていたけどそれ以外でもいいみたいな話で。結局大事なことはstalkがちゃんと計算できることと層の間の射の性質をstalkに関しての議論でできるようにするほうが大事だという話だった。こんなとこでつながるのとても感動した。突然顔を見たことある人にあったみたいな感じ。そこまでその論文読んでたわけじゃないけど。

色々な位相がほかのcoveringから生成されることを示すことができるらしく、未だにわかっていないものとしてcanonicalがfiniteとsplitで生成されるんじゃないかというものがあるらしい。とりあえず下がNoetherのときはしっかり成り立つことを示した。詳しくはもうちょっとわかりやすいことが言えるんだけど書くのがめんどくさい。ここの証明はすぐできたんだけどその後の使わないけど書いておくみたいな補題が何故か証明できない。finite coveringがclosed immersionとfinite flatに分解できるみたいな話なんだけど何故か剰余環への射がflatになっていてそれがなんでかわからない。ただの剰余じゃなくて多項式環をとってからの剰余だからできるのかと思ったけど示す方法が多項式環から剰余環からの射がflatになることを示すしかわからない。どうしようかと思って夜になってしまった。飛ばしてもいいんだけど何故かこういうのは飛ばせない。自分の中でなんかわかりそうだから飛ばせないものとすぐにはわかりそうもないから飛ばしてしまうという判断が自動的に為されている気がする。

明日は他の高校同期と会い、明後日は午後にゼミがあり、明々後日までにこれを読み切るつもりだったのでもう少し読んでおきたい。ひとまず全部読み通すことが大事だと思うので一回飛ばしておくことにする。どこがわかってないのかはちゃんと記しておくけど。次はsplinterについての話らしい。canonicalとpureが対応していて、特別な場合はsplitと対応していて今まではcanonicalのとの対応を見ていたけど今度はsplitの方に着目するらしい。楽しみ。

クリスマスイブだったらしい。とくになにかしたわけでも無いけど論文を読む時間をたくさん取れたので良かった。明日も午前中とか電車の中で少し読めるはず。今日はあと次の章の定義と定理の主張まで読みたいので日記はここまで。