春休み(2021)44日目

3/26(土) 曇り

11時に起きた。午前中は昨日のゼミの分の手直しをしててとりえず一区切りのところまで終わらせた。いくつか証明がわからないところがあるけど次のセミナーが近いからとりあえず放置しておく。まあ今考えてる諸々が解決したときに改めて考え直すことになりそう。

午後は考えてたことの続きをやってみた。そういえばやってなかった代数閉体の完備化がまた代数閉になることの証明を流用してみることをした。問題はノルムが取れてるか、スペクトラルノルムと同値か、更にその上で証明が回ってるかなんだけど。

とりあえずノルムが取れることを認めて証明を読んでいった。途中までというか半分までは問題なく進んだけど最後にうまくいかない。多項式の係数を極限で表してそのそれぞれの多項式の根を代入すればほとんど根のような挙動をしていることまでわかった。だけどそれがCauchy列になっていることがわからない。ここの証明に乗法性とか有限次拡大体へのノルムの一意延長とか体上のノルム特有のことを使っていて証明がそのままじゃ駄目。まあそのまま使えるとは思ってなかったけど。

そこで詰まったので少し戻ってノルムが定義できることを確かめた。前はなんかうまく行かないと思ってたんだけどTate環であることから標準的に得られるノルムを構成できてしかもちょっと前に読んでいた論文の内容をちょっと使えばちゃんとスペクトラルノルムと同値になることまで言えたので上の証明は途中までちゃんと回っていることがわかった。なんか一文がとても長くなった。とりあえずいい感じのノルムが定義できることがわかったのでそれを使って少し考えてみる。まあ何を考えるかぼんやりとしてるんだけど。

あとちょっと手を動かして一つの環の整閉性を確かめた。あとメモだけしててセミナーでちょっと話を聞こうと思ってたけどperfectoid pairになることがわかってるのでその上のadic spaceの次元と対応付ければtiltを取った先の次元を調べれば良いことがわかるはず。環のスペクトラムと同じ感じにできるはずだけど閉イデアルじゃないといけない気もしてきた。Zariski closed subspaceとかいうのがあるらしくてそのときは任意のイデアルでやってるからなんかうまくいくことがあるのかもしれない。

明日はここ一ヶ月考えたことをまとめてセミナーの準備をする。あとこのあとadic spaceの本の中で少し調べ物をする。いつのまにか2時半だったのでそろそろ寝るけど。