修士一年2Q8日目

6/18(土)　晴れ

9時に起きた。今日は何もやることなくてずっと論文を読んでた。久しぶりに結構集中できた気がする。というのもやっぱりprismatic cohomologyとかを定義するところでどうしても少しちゃんと導来圏を導入しなきゃいけなくて、ただquasi isomorphismで潰しただけという感覚だけじゃなくて三角圏であったりcohomological functorであったりということ知らないといけなかったから。最初はprismatic siteを定義しているだけだからよかったんだけど。書きながらじゃないけどとりあえずSchapiraのやつをざっと読んだ。それだけだけど結構やりたいこととかどういう構造をしてるのかが少しだけ分かった。導来関手とかもわかった気になっている。

大事なこととしてquasi isomorphismで潰れるということよりも完全三角形があって、cohomologyを取る関手がcohomological functorになっていることっぽい。つまりは完全列の一般化を行っていると同時に、導来圏の対象そのものというよりはそのcohomologyに情報を与えている感じ。だから最初はRFとかが各i次が知りたいcohomologyになっていると思ってたけどそうではなくて、RFのi次のcohomologyが知りたいcohomologyになっているということだった。感覚で考えていてよくわかってなかった。あとは関手から誘導される導来圏の間の関手とか、toposの間の射とかを見直してなんとかprismatic cohomologyの記号の意味がわかってきた。原論文はとても一般の場合で定義していて、他のやつでは低次でやっていた。それがちゃんと対応していることとかはなんかちょっと怪しい気がする。まだちゃんとわかってない。

その後は本題の一つであるHodge-Tate comparisonのための射を構成した。これは最初は何がなんだかわからなかったけど導来圏の言葉を少し知ったことと簡単な場合の構成とかを見ることでなんとなくわかった。それでよく考えたらなんでこんなことできるのかっていうくらいすごい定理っぽい。突然微分写像を構成できていて、さらにそこから微分加群的なやつの普遍性でどんどん射を構成していった。これが同型になるのすごいってなった。

ただ同型の証明はかなり大変そうで目的の可換環論のへの応用のところの前に聳え立っている。一度流して読んでからあとでもどってくることになるかも。取り敢えず今の章は読み切るけど。同型になったからそのあとどう使うかとかはまだわかってない。最後にそのcohomologyの計算をするための道具をちょっと準備するらしい。base changeとかlocalizationとか。Cech cohomologyみたいなノリだと勝手に思っている。

なんか今日はまだ日付を超えて無くて何故か一日が長い気がする。明日は午前中に聞く発表があるので寝坊しないようにしたい。そういえば今日もあったはずだけどまああんまり関係なかったし大丈夫だと思う。今日はあとはこの続きを読んでうまく行けば章を読み切りたい。