夏休み27日目 - 夏休みの日記

9/2(水)　曇り

昨日4時くらいまで起きていたので起床が12時過ぎだった。これを書いているのが19時だけどあまりにもこの時間帯が来るのが早すぎる印象がある。過度な夜ふかしをすると昼だと思ったら夕方みたいなのがよく起きる。朝(というか昼)に起きたあとリングフィットアドベンチャーをやってみた。めっちゃきつかった。アドベンチャーモードとかいうのを一面やっただけなのに普段かかない汗をめっちゃかいた。汗が垂ずに湿るような汗のかきかたをするのでお世辞にも快適とは言えなかったがそのあとのシャワーが普段より快適だったので良かった。とりあえず無理しすぎること無く続けようかと思う。

その後は放置していた数学を進めた。如何ともし難いのでstacks projectを除いてみたら解決した。写像の作り方をしっかり考えれば自分の手で示せたかもなあという気持ちになった。使ったのは次の主張。

主張

$(X , \mathscr{O}_X)$ をringed spaceとし、 $\mathscr{F}$ をfinite presentation $\mathscr{O}_X$ -moduleとする。そして全射 $\psi : \mathscr{O}_{X \mid U}^r \rightarrow \mathscr{F}$ があるとき、 $\mathrm{Ker} (\psi)$ はfinite type $\mathscr{O}_X$ -moduleになる。とくに全射 $\theta : \mathscr{G} \rightarrow \mathscr{F}$ がfinite typeな $\mathscr{O}_X$ -module $\mathscr{G}$ について存在しているとき、 $\mathrm{Ker} (\theta)$ はfinite typeである。

証明

$\mathscr{F}$ がfinite presentationより任意の $x \in X$ についてある開近傍 $U \subset X$ が存在して $\mathscr{O}_{X \mid U}^m \rightarrow \mathscr{O}_{X \mid U}^n \rightarrow \mathscr{F}_{\mid U} \rightarrow 0$ が完全列になるものが存在する。1つ目を $u$ とし2つ目を $v$ とする。全射性から標準基底 $e_k \in \Gamma (U , \mathscr{O}_X)^r$ に対して適切に $U$ を小さく取れば茎において $\psi_x(e_k)$ と移した先が一致するような $\tilde{e_k} \in \Gamma (U , \mathscr{O}_X)^n$ が取れる。これに移すような写像 $\alpha : \mathscr{O}_X^r \rightarrow \mathscr{O}_X^n$ を定める。同様に $\beta : \mathscr{O}_X^n \rightarrow \mathscr{O}_X^r$ を定める。これらは $v \circ \alpha = \psi$ と $\psi \circ \beta = v$ となる。ここで $\mathscr{O}_U^m \oplus \mathscr{O}_U^r \rightarrow \mathscr{O}_U^r$ を $\beta \circ u + (1 - \beta \circ \alpha)$ とするとその像は $\psi$ の核と一致している。