1Q63日目
6/7(月) 晴れ
10時に起きた。午前中は院試の出願サイトの登録に必要な情報を集めて少しだけ準備した。
その後は院試の基礎問題を解いた。位相空間論に始まり、今回の分はいつもより少し難しかったような気がする。少し議論が怪しいところがない気もしないけどとりあえず全部解けた。結構時間ギリギリで本番は焦ってうまく行かないんだろうなと思った。
午後はセミナーの本を少し読んだあとゲームをやってバイトまでWeierstrass divisionについてやった。やったと言っても書き出してはいなくていくつかの文献の証明を読んだ感じ。どれもなんか納得行かないところがあったり冗長な感じもしていたけど一つ丁度いい塩梅のやつを見つけてそれが読めそうなので明日読む。対面セミナーがあるからそれの行き帰りにでも読もうか。
バイトから帰ってきてからはまたすこしHTTについてなるほどと思う見地を知ったので読みつつ配信を見てた。ただここはそもそも飛ばしてもいいと言われていたところだしサラッと上をなぞって定義を確認したくらい。simplicial setの反対が出てきたあたりでさすがに一気に進めすぎて疲れた。
2日以上日記を書かないのが開くとちょっと面倒なのがある一方でパソコンで座って打つほどやる気がなかったのでスマホで書いた。
明日のセミナーに間に合うように朝起きるのでそろそろ寝る。
1Q61日目
6/5(土) 晴れ
7時半に起きて8時から院試ゼミをした。基礎問題のほうが解けていなかったのを聞いた。(1)では平均値使えていたのに(2)で微分の形に治すことに気づけなかったのが悔しい。午後の問題も解けていたけど一個もっと簡単な感じに解く方法を知った。
少し雑談した後お昼ごはんを食べてから髪を切りに行った。
帰ってきてからはまたHTTの続きを少し読んだ。一番最初のときよりは難しくてなかなか頭に入ってこない。topological categoryのhomotopy categoryとsimplicial categoryのhomotopy categoryが出てくるし前者の定義がいくつかあって困った。一つはmapping objectをそのpath connected成分で考えたもの、もう一つはcompactly generated spaceの圏のweak homotopy equivalanceに形式的逆を付け加えたもの。多分こっちが圏の局所化とかに対応しているっぽい。わかんないけど。これを定式化するためにhomotopy category of spacesへの関手を作ってからそれによってもとの圏をenriched category的に移すみたいなことをした。そこにCW complexとのweak homotopy equivalenceが存在するという主張を使っていてここらへんからわからなくなってきた。しかもそのとり方は一意的じゃないけどhomotopy同値ではあるとかいう強い主張が使われた。
simplicial categoryの方はsimplicial setとTopの間の随伴を使ってTopの方にmapping objectを移してsimplicial categoryをtopological categoryの方へ移した。どうせそこらへんに対応があるんでしょって言ってる。とりあえずこれ以上頭に入らなそうだし明日ゼミもあるしそれで聞こうと思う。
ちょっと放置していたセミナーの方を少し読んでから今日は朝早く起きたしそこそこにして寝ようと思う。
1Q60日目
6/4(金) 晴れ
11時に起きた。昨日は少しは早く寝たんだけど何故か睡眠時間が長かった。とりあえず明日のために院試の専門科目を解いた。時間いっぱいを使って3問解けた気がする。まあどうせどっかやばいとこ生じてそうだけど良し。
それで遅めの昼ごはんを取った後は夜までずっとHTTとその途中で出てきたCW complexについてやっていた。HTTの方の合成の結合律についてまたずっとうんうん呻りながら慎重に元を取って証明した。一度3-simplexまで持っていってそこから制限によって2-simplexに移してうまくいっていた。
その後はその圏から得られるnerveとの同型を示したあと、その結合律に注目してまずinner hornについてのみ拡張できればいいということをouter hornについて拡張しようとするとgroupoidになる必要があるよねというところから主張した。また、射の合成についてhomotopyの合成を引き合いに出して別に合成の仕方が色々あるけどhomotopicになるから良いよねということを主張してから、圏と対応するnerveや位相空間から得られるものに代表されるkan complexより少し広い、やはり位相空間と圏の中間にあるような対象を扱いたいということから無限圏を定義した。
今度はその上で色々見ていくのだけどそこでtopological category上enrichedな圏とかとの対応を見るためにhomotopy categoryを考えた。特に大事な例として対象がCW complexになるようなtopological categoryを考えた。そのためにCW complexを少しだけ知る必要があったので色々調べた。そのなかでめちゃくちゃ良い位相空間論のサイトを見つけた。
http://www.homepages.ucl.ac.uk/~ucahjde/tg/html/index.html
講義資料と動画があってどちらも丁度いい長さでありながらしっかり証明とかついていて図もわかりやすいし聞きやすい英語だしとても良い。ひとまずCW complexの章を全部見てHEPを持つことを示した。まあHEPはこの後すぐにはHTTに出てこ無さそうなんだけど概念になれるために聞いた。拡張の仕方とか図で書いてあってとてもわかり易いししかもそれをちゃんと証明してくれているのも良い。
それで最終的にはhomotopy category of spacesというのを定義した。なんか改めて今日やったことを書くとそんなにやってない気もするけど午後いっぱいを使ったと思うと時間は結構取ったらしい。いやまあ途中P4Gをちょっとやったけど。
明日は院試ゼミに参加した後、髪を切りに行こうと思う。とりあえず今日はセミナーの方の続きをちょっと読みつつ明日に備えてもう寝ようと思う。
1Q59日目
6/3(木) 晴れのち雨
11時に起きた。午前中は昨日わからずじまいだったinner hornについての議論を見返した。結局次元が小さいところで問題が生じそうだけど普通に包含関係が成り立っていたので何も問題がなかった。それよりも拡張したことにより得られる射がたしかに拡張になっていることを示す議論にずっと悩んでいた。何が自明で何が自明じゃないのかわからない。結局上での一致を言えば良いことまでは分かったけどそれから更に隣り合うような
についての
上で一致すればいいという議論がわからない。隣り合うところだけ見てそのつながりを見ればnerveだしうまく行っているという考えはできるけどそれの正当化が出来ない。しかも一つこれは自明だよねとなっている議論のところを自明だと扱うとそれ以外のところも自明になって何もやることがなくなる気がしている。どうもわからないままだけど結局長さnのchainを伸ばしたり合成したりするだけだと思えば一致していると考えた。とりあえずその認識でゼミのときに有識者に聞くことにして続きを進めた。
今度はある性質をみたすsimplicial setがnerveになることを示す。対象とか射を取ってくるけど射の射とか取ってきていて複雑。HTTじゃなくて
https://conf.math.illinois.edu/~rezk/595-fal16/quasicats.pdf
こっちのほうがわかりやすかったのでそれで改めて話を書き換えた。こっちは対象で考えてるけどHTTは射で考えていたので上手いこと米田の補題で対応させてバイトを挟んでひとまず恒等射の性質まで確かめられた。残りは射の結合律だけなのでそれを確かめようと思う。
明日は授業もないし午前中に院試を解いて午後はなんか続きをやろうと思う。あと髪の毛も煩わしくなってきたから切りに行くタイミングをそろそろ見つけておきたい。というわけで今日の日記はここまで。
