1Q60日目

6/4(金)　晴れ

11時に起きた。昨日は少しは早く寝たんだけど何故か睡眠時間が長かった。とりあえず明日のために院試の専門科目を解いた。時間いっぱいを使って3問解けた気がする。まあどうせどっかやばいとこ生じてそうだけど良し。

それで遅めの昼ごはんを取った後は夜までずっとHTTとその途中で出てきたCW complexについてやっていた。HTTの方の合成の結合律についてまたずっとうんうん呻りながら慎重に元を取って証明した。一度3-simplexまで持っていってそこから制限によって2-simplexに移してうまくいっていた。

その後はその圏から得られるnerveとの同型を示したあと、その結合律に注目してまずinner hornについてのみ拡張できればいいということをouter hornについて拡張しようとするとgroupoidになる必要があるよねというところから主張した。また、射の合成についてhomotopyの合成を引き合いに出して別に合成の仕方が色々あるけどhomotopicになるから良いよねということを主張してから、圏と対応するnerveや位相空間から得られるものに代表されるkan complexより少し広い、やはり位相空間と圏の中間にあるような対象を扱いたいということから無限圏を定義した。

今度はその上で色々見ていくのだけどそこでtopological category上enrichedな圏とかとの対応を見るためにhomotopy categoryを考えた。特に大事な例として対象がCW complexになるようなtopological categoryを考えた。そのためにCW complexを少しだけ知る必要があったので色々調べた。そのなかでめちゃくちゃ良い位相空間論のサイトを見つけた。

http://www.homepages.ucl.ac.uk/~ucahjde/tg/html/index.html

講義資料と動画があってどちらも丁度いい長さでありながらしっかり証明とかついていて図もわかりやすいし聞きやすい英語だしとても良い。ひとまずCW complexの章を全部見てHEPを持つことを示した。まあHEPはこの後すぐにはHTTに出てこ無さそうなんだけど概念になれるために聞いた。拡張の仕方とか図で書いてあってとてもわかり易いししかもそれをちゃんと証明してくれているのも良い。

それで最終的にはhomotopy category of spacesというのを定義した。なんか改めて今日やったことを書くとそんなにやってない気もするけど午後いっぱいを使ったと思うと時間は結構取ったらしい。いやまあ途中P4Gをちょっとやったけど。

明日は院試ゼミに参加した後、髪を切りに行こうと思う。とりあえず今日はセミナーの方の続きをちょっと読みつつ明日に備えてもう寝ようと思う。