春休み48日目

3/30(火)　晴れ

11時くらいに起きた。午前中に院試を解こうと思っていたけどお昼ごはんが遅くなってしまいそうだから先に食べた。今回解いたやつはある程度昔のものになったからか問題形式が少し違ったのと、今まで出てなかった計量線形空間の話が出てきた。微積は相変わらずよくわからないので線形代数の方を解いてみたけど計量線形空間のやつがよくわからなかったので教科書を見直してみた。そしたらほとんど問題と同じことが書いてあってこの事実知らんかったとなった。

その後はセミナーの本のネーターの正規化定理を示した。その前に剰余ノルムから定まる位相と商位相が一致することも示してた。古典的なものからまず示した。有限体のときも成立するやつを初めてまともに証明を追った。まあそれまでWeierstrassの準備定理とかのときに使っていたから改めて書いたという感じだけど。

一段落した後ゲームをして夕方からはまた続きをやった。ペルソナ5のほうはもうラスボスに行きそう。

続きはアフィノイド代数に関するネーターの正規化定理を示した。一箇所どう考えても多項式環的に扱えない場所があったのにそうなっていたから書き直した。結局剰余を撮って多項式環の話に帰着させるととても良い。これからいつもどおりHilbertの零点定理を示した。注意のところで特に正規化定理でとれる有限単射のcokernelが付値環上平坦になるように取れることが示せるとなっていて、演習問題に投げられていた。全くわからなかったので放置していたけど。後ろのappendixを見ていたら解答が目に入ってしまった。どうも蛇の補題とか使うらしい。この後そこを詳しく読むかアフィノイド代数間の準同型の連続性について考える。証明はなんとなく目を通しているけどどうも函数解析出でてきたような有界線形作用素とか閉グラフ定理とか出ていてまずそこを復習仕様となった。

明日は院試ゼミがあるのとついに3月が終わる。4月からはまだ予定がわからないけど忙しくなりそうという気分。まあ適度にやっていこうと思う。この後は上で書いたようなことをやるだけなのと日記の更新をサボらないようにということでもう更新しておくこととする。

春休み47日目

3/29(月)　晴れ

11時に起きた。今日はどうも暑い気がする。結局夜まで外を見なかったから体感温度だけど。午前中とお昼食べてから少しは昨日見つけた論文を一つ試しに読んでみた。短いこともあって最近のやつだけど意外と読めた。読めただけで理解できたかわからないのと最後の方をまだ読んでないけど。qcqs scheme上のquasi-coherent sheafからなる圏がflat generatorを持つこととsemiseparatedであることが同値になってしまう。本当はqcqsでもそれが成り立ってほしかったのに否定的に解決されたとのこと。ついでに内部hom関手(多分これ)が任意のinjective sheafについて完全になっていることが同値らしい。圏論が怪しくて一般のgeneratorの定義がわかってない気がするけどとりあえず全射がそこから飛ぶものという認識でいる。実際、semiseparated schemeにおいてはflat sheafのquotient sheafとして表すことの出来ないquasi-coherent sheafが構成できる。その構成は難しくなくて結構読めた。関手の完全性との同値性のほうが難しそう。

院試の問題を解くの忘れていたので基礎問題を解いた。今回は結構解けた気がする。微積の問題は相変わらず微妙だったけど位相空間とか線形代数は全部解けた。漸化式の数列の収束性で図を書けばわかるやつがあるけどこれの正当化がわからないのでゼミのときに聞く。

その後はゲームをしてセミナーの準備をした。剰余ノルムについての性質を確認した。剰余ノルムと体上のノルムが体の元については等しいことを示すのが一番難しかった。体の元を足しても単元じゃなければノルムは大きくなることが示せた。

今日はバイトが五週目で無かったので時間がたくさんあった。というか明後日で3月が終わるの信じられない。明日はまた院試の問題を解いてから今日と同じ一日を過ごすことになりそう。1時過ぎてなんか眠くなってきたしもう寝ることとする。

春休み46日目

3/28(日)　晴れ

12時に起きた。昨日夜遅くまでゲームやっていたから遅く起きた。

ゼミをやった。雑談とか聞いた。だんだん忙しくなってくるし次は少し先になりそう。

ゼミのあとはご飯を食べた後セミナーの準備を少しした。アフィノイド代数についてのところを書き出した。

お風呂入っているときに前から引っかかっていた直和がquasi-coherentのときその直和因子はquasi-coherentになるかみたいなものを考えていた。多分先行研究があるだろうと思っていたけどどうにも前から探せていなかったので頑張って探してみた。そしたら半分くらい解決しているものが合った。

まず、

https://www.jstor.org/stable/24898249

曰く、そもそも環のNoether性とその上の単射加群がそれ以上分解できない単射加群による分解を持つことが同値でそれを自然に拡大できないかみたいな話があったらしく、それについて解決していた。そこでは新しい概念を出して解決していて、その元の疑問を与えていた論文

https://www.cambridge.org/core/journals/canadian-mathematical-bulletin/article/duality-of-preenvelopes-and-pure-injective-modules/B736EFD100F2760038DA6287EF2553E6

にはcoherent ring(多分それ自身の上の加群としてcoherent)上ではほしい同値が成り立っていないこと、

https://www.cambridge.org/core/journals/proceedings-of-the-edinburgh-mathematical-society/article/pure-injective-and-absolutely-pure-sheaves/2FEEDD6C748524F95351130D2F9E3FB9

こっちではquasi-coherent(locally coherentとなっている気もする)だったら似たような同値は成り立っていることが書いてあった。全然読めないので適当言っているかもしれない。１つ目の方は数ページだから手を付けてみてもいいかもしれない。

とか言いつつゲームやりたくなってるのでやる。今日はしっかりその日のうちに更新しようと思っていたので今更新することとする。

春休み45日目

3/27(土)　晴れ

11時過ぎに起きた。ここ数日まともに書いていなかった日記を書いた。行けたと思っていた証明がダメだったので考え直している。

考えたらやっとわかった。そもそもBGRとかとのdistinguishedの定義と違くて、最高次が定数になるか多項式として可逆元かという大きな違いが合った。確かに多項式なら証明はすぐ終わっているけど定数の場合がわからなかった。だけど二等辺三角形的な性質とその多項式の定数項以外は主要部を取ると消えることを考えれば出来た。こういうふうに理解できたときのアドレナリンで数学やってる。

院試ゼミをやった。舌を噛んでまともに話せてないから今回は主に聞く側にまわった。あと珍しく複素解析とか解析系の問題の回答を聞いた。

その後はセミナーの方のTate代数がUFDであることを示した。一箇所わからない同型があったけど除法のアルゴリズム、というかたぶんWeierstrass division theoremを使って次数下げ的なのをしてうまくいった。だいたい同型で移して標準的な形にできる準備定理が強すぎる。

その後ペルソナ5が佳境だったので進めた。3時くらいまでやって日記を更新し忘れた。

春休み44日目

3/26(金)　晴れ

9時過ぎに起きて運転した。午前中はそれで出かけて都会のトムソーヤの最新刊を買ってきた。

午後はまたわかっていない行間を考えた。同型で移してdistinguishedになることを示したくて剰余とかを取っていけそうなんだけどどうにもそれだけでうまく行ってない気がしてずっと進まない。

出来たと思った証明もこの日記を書いている3/27の朝よく考えたら出来てなかったことに気がついた。出来たと思ったから次のところを読んでWeierstrassの準備定理というのを示したけどこれは特に難しいところがなかった。除法のアルゴリズムがうまく使えているなと言う気持ち。

夕方は研究室の卒業お疲れ様会的なのに参加した。zoomでやった。来年以降どうなってるかわからないなあという気持ちになった。セミナーで読む本は週一でやって一年で読み切るくらいらしいので自分ひとりでしかも3週に一回となってしまうとちょっと読み切るのが厳しそうなので可能だったら二週に一回でも少しづつ発表したい。

夜は少しゲームやった。もう少しでクライマックスに入りそう。

春休み43日目

3/25(木)　曇り

珍しく日記を書くのが２日空いて3/27に書いているからもう何やったか思い出せない。ここ数日わからないままの行間があるからそれを考えてバイトまでゲームやって過ごしてたはず。

院試の問題解く時間が無くて解かなかった気がする。