4Q14日目

12/16(水)　晴れ

9時に起きた。りすかの続きを読もうと思ったけど最終巻だし後に用事がないときに読もうと思って午後に読むことにした。授業までaffine morphismの最初をやった。定義の同値性とか。

授業は確率論だけで結局ほとんど聞けていなかった。無限の猿定理のところは数学的な定式化がすごい面白かったけど。ついでにバベルの図書館というものも聞いてそれがネット上で構築されてることも知った。

Library of Babel

これが載ってる小説も面白そうなので機会があったら読んでみたい。でも結局それ以外わからなかったから、というか聞いていなかったからおそらく切ることになるだろう。

午後はご飯を食べた後引き継ぎとかして時間を過ごした。うまくいってほしい。

その後はりすかの続きを最後まで読んだ。なんでそんなことを思いつくのかわからなすぎる。以前よりもぶっ飛んだ話を書くようになってる気がする。何書いてもネタバレになってしまいそうなのでただ面白かったということだけ書いておく。展開も自分の好みの感じだった。

そのあとはaffine morphismの同値性をもう少しやった。逆像がまたaffineになることとある代数のスペクトラムになってることが同値になる。こういう感じでquasi-compactとかfinite typeとかもそうだったけど射に条件をもたせるということは絶対的な性質ではなく相対的な性質だと捉え直しているような印象を得る。これから代数のスペクトラムを取る関手の像がaffineなものであるということがわかる。

そのあとにclosed immersionがaffine morphismになること、affine morphismがstable under compositionかつstable under base changeかつlocal on the targetであること、affine morphismとseparated morphismをもつschemeの間の射はaffineになることを示した。ついでに極限と可換みたいなことがあったけどひとまずその話は放置しているので証明はしなかった。唯一base changeのところだけが難しかった。本に乗ってる方法だとfiber productの層を考える必要があってよくわからなかったから結局構成とかを参考に逆像がaffineであることを使った。

その後には例を色々やった。affine spaceのclosed subschemeはaffineになる。逆にprojective schemeのclosed subschemeは如何ともし難い。とくに自明な場合を除きprojective spaceはaffineにならない。また、vector bundleはaffineである。仮定にlocally finite freeが書いてあったけどどこで使うのかわからなかった。あとはopen immersionがaffine morphismになるかどうかを考えた。Hartogsの定理を使うことでそうではない例を作ることが出来た。一方、line bundleの大域切断一つを定めたとき、それが可逆になるもの全体を集めてくるとそれは開集合だがその包含写像はaffineになる。可逆性というのはうまいこといってる。そのあとquasi-coherentな加群層についてaffine scheme上ではそのうえの大域切断を考えてうまい全単射が得られていたが、それが一般的なaffine schemeについても成り立つところで示せなくなった。

主張

affine morphism と-moduleについてはquasi-coherentな-moduleからquasi-coherentな-moduleへの全単射が得られる。

行った先がしっかりquasi-coherentになることはaffine morphismであることを使って言えた。あとは逆をつくればいいんだけどそれがどうもうまくいかない。逆像の順像とかを考える必要が出てきそうでよくわからない。代数のスペクトラムを考えると大域切断と類似するものとして順像を考えているからそれを類似として作りたいんだけどどうもだめ。逆像を取ってそれがquasi-coherentなのはいいんだけどしっかりその像がもとにもどるかが分かっていない。

明日暇だし明日考える。バイトの開始時間が一個分早まりそうでめんどくさくなってきた。まあしゃーない。時間も時間なのでゲーム実況が終わったら寝ることとする。