4Q57日目

1/29(金)　晴れ

10時に起きた。寝坊したと思って飛び起きてしまった。

午前中は複素解析で一般の被覆空間の話と分岐度とかの話を聞いた。本当に話を聞いただけでところどころの帰着のさせ方や命題も気持ちしかわからなかった。授業はこれで終わりで後はテストだけだけど実際の対面のテストだったらこれ本当にダメだったかもしれないのでオンラインで良かったかもしれない。

早めに授業が終わったのでお昼ごはんを早く食べてdevissage lemmaの続きを読んだ。適用例として、noether schemeの間の射であって定義域のschemeの任意のclosed integral schemeがgeneric pointで零にはならないcoherent moduleであって順像がcoherentであるようなものが存在するとき、任意のcoherent moduleの順像がcoherentになることが示せた。noether schemeであることを使って完全列で両端がcoherentであることと真ん中がcoherentであることが同値であることを何回か使ってできた。devissage lemmaが示されているとこれがすぐ終わる。

その後にはとくにproper k-schemeのうえのcoherent moduleの大域切断は有限次元kベクトル空間になることを言いたい。そのために順像がcoherentであることを言えば良くて、その命題を使うために仮定の確認をする。そこでintegral closed subschemeの構造層がそれを満たすことを確かめるけどそれがなかなかうまく行かない。結局代数閉体であるという仮定をつけてよくてその場合に考えるけどある条件を満たす構造層の大域切断がその体と一致することをいう。そこでproperなschemeの大域切断から誘導されるaffine lineへの射が閉写像になることが言えない。properだから閉写像ということはbase changeと対応させていると思うんだけど。

とりあえずそこがわからないまま午後の授業を受けた。位相幾何の話というよりかはもうやっていることは代数だったけどお気持ちが幾何っぽいのかも。穴の数を数えられているっぽい。縮約して簡単にできるというのがあって単純ながらある程度簡単なホモロジー群に対してなら強力そうだった。その流れでレポートに間違いを見つけたので書き直して再提出した。

何個か行間を埋めてからまたゲームをした。

夜はゲームをせずにまた閉写像になることをぼんやりと考えていた。ひらめいたというかproper schemeからseparated schemeへの射はまたproperになることを使えばその射の像が閉写像になることがわかる。

これは良かったけど、そのあとすぐに、 \mathbb{A}_k^1を \mathbb{P}_k^1 へ埋め込んでそこへの射とする。これによる像はまた閉集合になる。実際、像は一点を除き開被覆の共通部分に入っていて、その一点は無限遠点と原点で代数閉体より閉集合affine lineの閉集合は有限集合だからその一点を必要ならば取り除いてやっぱり閉集合になる。このときこの射がfiniteになることがわからない。finiteは後にproperかつaffineという形と同値になると書いてあるけど \mathbb{A}_k^1 \rightarrow \mathbb{P}_k^1 はproperなのかみたいな問題にあたっている。それじゃない方法が思いつくかも。

眠くなってしまったので今日の日記はここまで。