3Q(2021)2日目

10/2(土)　晴れのち雨

8時半くらいに何故か目が覚めた。午前中は昨日の続きのところを読んだ。どうやって使っているのか分かっていないところがあったけどそもそも今示したいことにそれは使っていなくて標数pの場合の証明をそのまま使うことができた。そのまま証明もできた。面白かったのがtilt対応の圏同値を既に示しているからuntiltとかtiltとかとってそれぞれのところで普遍性を使って同型射になることを示したことだった。綺麗に示せて嬉しい。

それで午前中からお昼ごはんの後までapexをして過ごした。楽しいけど自制しないといけない。

その後は午前中示した定理に使った補題を示した。剰余を取ってalmost injectiveが成り立つならもとの方ももalmost injectiveみたいな。これに結構手こずった。torsionfreeであることを使って核を決定するんだけどそれをどうすれば良いのかわからなかった。結局単射で埋め込めて、それが核になっていることを示すのにちゃんとtorsionfreeを使った。さらにその後剰余がalmost zeroなら冪で割ったときもalmost zeroというところがあってそれがなかなかわからなかった。よくよく考えてalmost divisibleっていう言葉を見て示せた。順番にalmost divisibleだからいい感じに割り切れて、高々有限冪くらいなら調整できるのでやった。

これで任意の標数のパーフェクトイドに対してその上の層の切断がいい感じにわかるしtiltもほしい形になっているのも示せた。この後はそれを踏まえて同相であることを示したい。よく考えたら関数として扱うことになるパーフェクトイドが標数が異なるのにそれを関数として持つ空間は同じ形になるのやばすぎる。うまくいきすぎでは。しかもその上のetale siteまで同型になるというんだから恐ろしい。その証明自体が長そうなのとそれに使うapproximation lemmaとかいうのがまた重そう。

明日は午後にゼミがある。そういえば午前中はその予習もしてた。一箇所未だに分かっていない階数1のところが解決できたら嬉しい。ということで明日は午後にそれがあるから午前中に今日やったことの続きをやる。いややらんかもだけど。ゼミの後はまたその日のノートをまとめるけど明後日から授業が始まるから書き終えるまで時間を掛けてしまうことになるかも。時間をかければ掛けるほどやる気がなくなって溜まっていってしまうので気をつけたい。

今日のこの後はzoomで少しやることがあるのでそれまで配信と定理の主張を見て過ごすことにする。今日の日記はここまで。