4Q(2021)9日目

12/11(土)　晴れ

10時付近で起きた。午前中は昨日やるといっていた長い証明を読み始めた。整閉包をとったあとにはintegral pre-perfectoidになり、そのtiltはseedであるということを示す。前者は何も問題なく昨日出来ていて、問題は後者。Andreの定理を使うために有限かつ局所化を取るとetaleになるものの順極限で表したいんだけどそこがうまく行かない。局所化取った後が順極限になることはわかるんだけど局所化を取る前のイコールに持っていけない。一般には厳しいからなんらかうまいことやらないといけないことがあるんだろうけど。

そこが難所でそこをすぎればその順極限の各対象に対してAndreの定理からintegral almost perfectoidかつalmost CMであるようなものがcompatibleに取れて、その順極限をまた取れる。これは完備化することでintegral perfectoidかつalmost CMになるから、これを経由させる。そのtiltがseedになればいいが、それはいつもどおりalmost CMになることを示すことで対処していた。integral almost perfectoidのtiltがまたそうなることを示すのを忘れてることに気づいた。まあこれは前に示した完全列をalmostで考えてできるだろうと思っておく。一通り読み終わったら戻ってくることになりそう。あ、いや、そもそも正標数の場合のintegral perfectoid関連の言葉は定義されてなかった。結局フランス語が読めないことが弊害になってるだけっぽい。読んでみたらそれっぽいこと書いてあった。tiltの記号を♭じゃなく♯でやってるっぽい。まあとにかくその順極限のtiltがalmsot CMになることを経由して示せた。

午後までかかってて、その後は完全閉包のtiltがseedになることを示した。今までに示したのは完全閉包に逆元を少し加えた中での整閉包についてのみだったけど、今度はもっと大きいところでのtiltがやっぱりそうなることを示す。結局やっぱり順極限を経由して一つ前の定理を使って構成して、順極限の完備化を取ってもとに戻した。まだ完全閉包が有限拡大かつ整閉なものによる順極限になっていることがわかってない。明日ゼミあるしそこらへん時間あったら聞いてみても良いかもしれない。やっぱりind-etaleとかわかってないし。

次にもまた大きい定理があるけどそもそも主張が長くてまだ読む気になってない。寝る前に少し読むつもり。明日は午後にゼミがあるからそれまでわかってないところを改めて洗い出してみる。何がわかってないのかをわかっておかないといけない。ツイッター見てたらmathlogのやつが流れてきててせっかくだし年末年始で初めてなんか書こうかと思った。だけど自分の手元でpdf作ったほうがやりやすいかなと思ってしまう。公開するというモチベがちゃんとできればそっちで書いたほうがやる気になるんだろうけど。まあ書くことなんも決めてないしどうせ書くとしてもperfectoidについてで、そのためには色々必要だから記事というレベルで書ける量じゃない。

とりあえず今日は明日のために定理を読んで寝ることにする。