3Q(2021)27日目

10/27(水)　曇り

11時過ぎに起きた。昨日は配信を3時半くらいまで見てたから朝起きるのが遅くなった。しかももう朝が寒くなってきてて布団から抜け出すのも一苦労だった。お昼ごはんを食べて昨日の続きのalmost purity theoremの証明を読んだ。

途中apexをやって遊んでからまた証明の続きを読んだ。untiltで書けることがわかればperfectoidになることがわかって、ファイバー積を考えれば逆像の切断がそれになってることからfinite etaleならばstrongly finite etaleになることが示せた。これでfinite etaleとstrongly finite etaleの同値性を示すことが出来た。そうするといい感じにalmost finite etaleからの復元とか出来てとても嬉しい。

そこまでをまとめてやっとetale siteの同型を言うことが出来た。まずはalmost purity theoremでまだ示してなかった大域切断との同値性を言わなきゃいけなかったけどこれはまさに示したことを使ってすぐに言えた。任意性がとても上手く効いてきている。etale siteであるためにはGrothendieck位相の公理を確かめないといけないけどstrongly etaleで示せているので同値性を使ってetaleについても示せた。あとはもともとあったstrongly finite etaleとfinite etaleに関するtiltによる圏同値を使って同値が言えた。一応stalk上で同型だから全体で同型というのも流れを追っていたけど少し違う方法で冪有界元に対してのalmost finite etaleとの同値性を言っていただけだった。

やっぱり何度見ても謎が多い。関数として存在させたい環の標数は全然違うのにそれを関数として持つ空間はetale siteまで含めて同型になっているの恐ろしい。結局almost purity theoremとかこの同相性とか何がすごいのか考えてみたけどやっぱりtiltがめちゃくちゃ上手く行っているということしか分からない。あとはfetと2-limが可換であることとかで結局体上の議論に落とし込めることとか。でも体上の議論でも結局tilt同値を使っていて、tilt同値が素晴らしいというのがわかる。じゃあそのtilt同値がなんで成り立つのか考えてみたけどuntiltとか含んでいる分よくわかっていない。というかuntiltが上手く行っているのかも知れない。そのp-ringを剰余環にもつ標数0の局所環を構成できるのよくよく考えたらすごい。それで戻ってくるためにはやっぱり根本で一致している必要があって、tiltの図の形になるために必要な条件が備わっているっぽい。標数0だと少し複雑なperfectoidの定義も正標数にすることで完全かつ完備というだけでいいのもとても偉い。

それでひとまず院試前から数カ月間目標にしていたalmost purity theoremの証明を読むところまで行けた。このあとどうしよう。本当は実際に使っているところを見たくて、weight monodoromy conjectureの証明とか読んでみようかと思ったけど普通に前提知識がたりなさそう。こういう新しい概念ではなく今までの理論の積み重ねがないと理解できないものに弱い。直和因子予想の方を見てもいいかと思ったんだけど環論をそこまで真面目にやっていないから気が乗らない。前に読んだperfectoidに関する文章を読み返してみようと思う。後は数論への応用みたいなことが書いてあったやつとか。

ひとまず明日は午後に授業とバイトがあるからそれまでしばらく離れていたセミナーの本の続きを読む。続きというかそれを読むために少し戻らないといけないくらいは離れていてしまっていたんだけど。まあ微分加群層の話のところからだというのは覚えている。その前はKiehlの話だった気もする。そこらへんのザッと見れるやつは寝る前に見てしまうことにする。