3Q(2021)25日目

10/25(月)　曇のち雨

5時に起きてALGSをずっと見てた。布団の中に入ってスマホで見てる至高の時間だった。寝不足になったけど。見終わってからは授業を受けた。寝不足のせいで久しぶりに授業中に寝落ちする感覚を思い出した。図が多かった分なんとか追いつけたので良かった。

午後は昨日の続きの証明を読んだ。だけどそもそもfinite etaleの性質について示していない状態で示すには無理がある証明な気がしてきて、ここで事実として色々認めるのはもったいないと思って先に用いた補題の証明を試みた。これも結局わからないところがあったので諦めてちゃんと他の文献の該当箇所を最初から読むことにした。例えばfinite etaleの圏を取る操作と完備化と順極限が可換だとか、strongly finite etaleなら任意のaffinoidの逆像について成り立つとか、ファイバー積が完備化するまでもなく与えられるとか。2-limとか言う記号があって何かと思ったけどおそらく2圏における順極限らしい。perfectoid体上のfinite etaleの圏についてはtiltによる同値性がわかっているので、2-limを取ることでその圏と圏同値を与え、そのtiltを経由して示すらしい。

途中バイトを挟んでそれについて考えていた。途中工大祭のための寄稿の手直しもしたけど。ひとまずここを読み通せば証明が終えられるという見通しがたった。結局問題はfinite etaleについての性質とfinite etaleならばstrongly finite etaleであることについてだった。ほかはここまで読んでいた文献でたくさん示した補題で全部証明しきっていたので安心した。

明日はこの続きをやることにする。まずは完備化とfinite etaleの圏を取る操作の可換性についてalmost ring theoryの該当箇所を見る。これを証明するのはちょっと厳しそうなので認めたもう一つの命題と一緒にいつかalmost ring theoryをやる人のゼミを聞く機会とかあったら聞きたい。そのあとの2-limによる順極限との可換性についてはこの補題を認めればできそうなのでそれをやる。単純に順極限を取る操作との可換性を示さないといけない箇所があるっぽいけど、一方はbase changeをして、一方は射の合成を取ればいいと思っている。ファイバー積の普遍性とか上手く使って。そしたら後はstrongly finite etaleについての証明とかなのでいい感じに進められたら嬉しい。

昨日の寝不足を解消するために今日はもう寝る。