3Q(2021)26日目

10/26(火)　晴れ

10時過ぎに起きた。午前中はゲームをやった。この時間は敵が弱い気がするので気軽にできて良い。

午後はalmost finite etaleについての証明のために準備を進めた。まずはbase changeでfinite etaleが保たれることを示した。これを使って簡単な場合に帰着させに行く。とくにaffinoid perfectoidの場合はそのテンソル積がそのままでファイバー積になっているのが良い。

その後はstrongly finite etaleについて任意のaffinoid perfectoid openについてその切断上の写像もstrongly finite etaleになっていることを示した。定義からはある開被覆についてしか取れないけどそれが任意の場合に言えることが示せる。これがとても大変だった。まずファイバー積での不変性から単純に値域を制限できる。とくに正標数にうつしてl-finiteの順極限の完備化で表せることとそれのadic spectrumに関する同相性と定義から取れる開被覆について2-limとfetの可換性から各開集合についていい感じにfinite etaleが取れて、さらに順極限的に十分小さいところを取ってそれを張り合わせる。そうするとそれのbase changeがもともとの写像になっているからまずはl-finiteの場合に帰着できる。l-finiteにするとさらにそれが体上位相的有限型のperfectionになっているのがとても嬉しい。また同じように近似的なことをして体上位相的有限型の場合に落とし込めるけどここまでくれば既存のNoetherian adic spaceのetale射の事になっているからその理論を使って言えた。いい感じにschemeとしたときのfinite etale射と対応しているのが嬉しい。というか帰着のさせ方が難しすぎる。順極限の完備化で表せて更にそれがperfectionになってるのどうやったら気付けるのか分からん。ひとまずそういう難しめの補題はいくつか認めたけど証明は読み切った。

それで一日の大半を費やして、次は合成が保たれることを示した。ここで見ていた文献はetaleの合成でやってたけど今はまだstrongly etaleのレベルでしか言えない気がしてそれで示した。ここでも結局上の話と同じ帰着のさせ方をして示した。

その後にメインのfinite etaleならばstrongly finite etaleの証明を読んでいたけど半分くらいで詰んだ。結局2-limを取って体上の話に持っていって圏同値を言っていい感じの同型を得られるんだけどそれを少し広げるというのがなぜなのかわからない。剰余体の完備化をテンソルして同型になっているだけでなんでなのか。色々見てみると圏への層を取ってそれで各点のstalkで同型ということから圏同値を言っているやつもあったけど、そのためには全体で射を作る必要があって、それを言うために結局finite etaleならばperfectoidになることを言わないといけない。順番がぐちゃぐちゃになってしまった。それに該当する場所を読んでみたけどalmost finite etaleについて同じような圏同値を言っていた。それは結局上の圏で圏同値だから言えているはず。それつかって張り合わせていたけどそうじゃなくても出来るはずでどうしようってなってる。未だ考え中。

少し読むのをまた変えてalmost finite etaleの圏の圏同値を使う方を読むか、その層の話をもとにしてもともとの文献の行間を埋めるか。

そうやって日記書いてたら解決した。そもそも剰余体上のfinite etaleの圏で同じなんだからそれと同じ2-limの中で同じというのが大事。そうすれば順極限の性質から十分小さい開集合において同型になってくれる。日記書いてたら解決するときとお風呂に入ってたら解決するときの嬉しさがすごい。この嬉しさのために数学やってる節はある。

今日は後は配信を見ながら続きを読むことにする。明日はまた暇だから続きをやる。