3Q(2021)19日目

10/19(火)　晴れ

12時に起きた。なんかよく寝た。いきなり午後になっててびっくりした。

ご飯を食べてから昨日の続きをやろうとしたけどなんか一箇所矛盾が生じてしまって困っていた。結果として原因がわかって、唯の局所化を忠実平坦だと思っていたのが原因だった。全体を生成する元の局所化の有限直積への射が忠実平坦なだけで、ただの局所化は忠実平坦にならない。スペクトラムの全射性を考えれば明らかにダメだった。

そのせいでできたと思っていた証明がひっくり返ってしまった。単射性が単射性に戻されるというところに使って平坦性を示すところに使っていたんだけどそれが吹き飛んだせいで証明できていたと思っていたalmost finite etaleならばweakly etaleであることの証明が何もできてなかった。そこらへんのことを一日考えていた。

まずそもそもalmost ring theoryの論文を見直してそこらへんの関係性について確認した。almost unramifiedとしてdiagonal idempotentが取れる条件を採用していたけど、それは対角射がalmost projectiveであることと同値だということがわかった。もともとの射はalmost finite etaleの定義からalmost projectiveが課されているからalmost projectiveならばflatであることが示せればweakly etaleになることが言えることがわかった。だけどそもそもその同値が難しそうで、簡単に示されるというほどではないなとなった。あとalmost projectiveだけで通常のflatが言えるのかって感じ。まあ言えないと困るんだけど。almost flatというのがあるはずだからそれでもいいのかどうか。そうするとalmost elementの間の射がweakly etaleになることが示されるようになる気がするけど。

とりあえずわからんのでその次を見ようと思った。でも簡単な場合に帰着させた場合にもとの射がalmost finite etaleになるかどうかというのが問題になった。almost isomorphismがalmost finite etaleになることとalmost finite etaleが合成で保たれることを確かめれば良いんだけどやっぱりalmost unramifiedが問題になる。ほかは結局almost zeroについてのみ確かめればいいし。almost unramifiedについてはテンソルのalmost elementを取っていて、almost isomorphismな射のテンソルがまたalmost isomorphismになることをしめせればいい。これがどうにも上手く行かない。同じ同型射のテンソル積って同型射にならないんだっけ。これテンソル積の普遍性から明らかかも。それをalmost isomorphismについてもやりたいけどよくわからん。

それの次にも問題があって、perfectなもののテンソルがperfectになることを言いたくてそのために補題を使うって言っているんだけどその補題の性質が成り立つかわからない。結局weakly etaleになることが言えない。局所化とってweakly etaleならばもともweakly etaleとかそういうのないのか。そこらへんの知識が何に書いてあるのか知らなすぎる。それを使わない方向でやろうとすると整閉なもののテンソルが整閉になっていることと、torsionfreeなもののテンソルがtorsionfreeになっていることを示さないといけない。これはもしかしたら一般的な環論で倒せるかも知れないので調べてみる。わからん。こういうのが一番しんどい。帰着させるときの話を大体どの文献も真面目に書いてくれていない。

局所化してweakly etaleならもともweakly etaleというのがあればとてもいい。でもそんな上手く性質を落とせるかどうかというのがある。わからんだらけなのでひとまず証明の最後まで読み通してわからないところをちゃんと挙げることにする。

今の所問題はalmost finite etaleはweakly etaleになるかどうか、almost projectiveはflatかどうか、almost isomorphismはalmost finite etaleかどうか、almost finite etaleは合成で保たれるかどうか、almost isomorphism同士のテンソル積はalmost isomorphimかどうか、 \varpitorsionfreeなもの同士のテンソル積はまたそうなるかどうか、perfectなもののテンソル積はperfectになるかどうか、もしくは、generic fiberがfinite etaleのときもとの射はweakly etaleになるか、くらい。なんか多い気がする。だいたいテンソル積が悪い。こういう難しいところ全部テンソル積が原因。

今日はあとは続きの証明まで読んでとりあえず証明の全体像とその続きを見る。また書き加えるかも知れないけどひとまず今日の日記はここまで。