4Q(2021)6日目

12/8(水)　晴れ

11時過ぎに起きた。一日ずっと数学してたのと書いているのが12/9なのもあって特に書くこともない。maximal etale extensionというのを定義してそれについて色々考えていてそれを用いてintegral pre-perfectoidを得る方法を考えた。まあとにかくmaximal etale extension内の整閉包を取ることでうまくいく。整閉包を取ってそれが求めるものになっているのが多いけどなんでなのか。多分整元環を取ることとかと関係があるんだろうなと勝手に思ってる。冪有界元全体からなるものを集めるみたいな。

大体の時間はnormal ringかつ有限個の極小素イデアルを持つときに直積に分解できることに関連することをたくさん考えた。そもそも一つ前の論文にあったことでそのときはわからなくて今回はまた出てきた。改めて色々探してみるとちゃんと正しいということがわかった。そもそも極小素イデアルが有限個であるような被約環の整閉包は直積を使って書ける。それは中国剰余定理と同じ写像になることもわかる。問題は今考えたい環が極小素イデアルが有限個なのかどうかなんだけどそれについては有限生成でその性質が閉じるという論文を見つけたので問題なかった。まだ読めてないけど。とくに整域上有限生成代数は極小素イデアルを有限個のみ持つ。これはもしかしたらもっと初歩的にわかるのかもしれないけど。

ind-etale上のfinite etaleについて考えててうまくいかなかったので寝た。睡眠に入るときに考えてうまくいきそうなことを思いついたのでそれを次の日に試してみた。