4Q(2021)15日目

12/17(金)　晴れ

10時過ぎに起きた。午前中から午後にかけて昨日の続きのalmost mathematicsのところを終わらせようとした。とりあえず基礎の基礎のところはわからないところがありながらも読み終えた。なんか完備性の同値性を示すときにlimitの導来関手を計算するんだけどなぜだか計算できない。結果の形は与えられていてそれを見るに直接計算するんじゃなくて蛇の補題とか使ってやるんだろうと思うけどそれをとる完全列がどれかわからない。

その後は他のやつに行こうと思ったけど流石にalmost etaleとかまではちゃんとやろうと思ってそこまで読むことにしたら一日かかった。何個か事実を認めた。almost projectiveとかに関する性質とか。直和因子っぽくなるやつがとても使いやすかった。その後は他の文献のalmost finite etaleとの同値性について証明した。その中に色々使えることがあったように思う。まずalmost moduleの圏への関手は完全関手であることをつかってTorとかExtをalmostにうつすと色々考えやすい。almost isomorphismとか言うよりもalmostへの関手を取ってそっちで同型をつなげたほうが楽だった。あとalmost elementを取ってから性質を示した後、それともとの加群がalmost isomorphismであることを使ってalmostの方でflatとか示すのとてもすっきりしていてよかった。とりあえず一つの方向は読めた。というかもともとこっちしか書いてないんだけど。冪等元が取れることは元の本を読めば書いてあるっぽいんだけど読む気にまだなっていない。今日読めればもう読みたいところはだいたい読めてるからやろうとは思っているんだけど。正標数のalmot purity theoremがその後に書いてあるからそっちまで読んだほうが良いんだけどちょっと保留する。とりあえずalmost mathematicsの初歩的なところを読むのが目的だったしこの後読むサーベイ的な方を読んでからでも問題ないしちょうど忘れた頃にまたやるほうが頭に入りそうだし。

結局やってみたくなったので逆を示した。だいたいうまくいっていて非自明な式を出してこられたけどなんとかなった。でも最後の最後でそういえば今入れてる積ではalmost elementが環にならないことに気づいた。悩んで悩んでとりあえず積を入れているやつはあったんだけどそれがtensor categoryの一般論の方でやられててそこから今の状況に持っていく中で非自明な同型を使われていて困った。結局その定義式を見て自分なりにこれだろうというものを作って証明した。元を自由に積に分解してそれぞれ飛ばしてからまた積を取るとかいう全然うまくいきそうもないやつだった。いまの定義域なら適当に小さい元の行き先だけ考えれば良くてほかは外に出していいからうまくいっている。元を取らなくても証明できるのかもしれないけど流石にこれはそれ以外の方法がないように見える。今まで考えてた積の計算が吹っ飛ぶかと思ったけどほとんど問題なかった。非自明な定義書いてくれるとありがたいんだけど。そういうのが無いから難しく見えてるだけな気がしてきた。まあ元を取るなという話ではあるんだけど。

いつの間にか3時に近くなっていた。やりたいところまでできたししばらく放置していた疑問にしっかり証明を与えられて安心した。これで大手を振ってalmost finite etaleを使える。まあfactにしたやつあるけど。

明日は午後にゼミがあるからそのためにそろそろ寝ることにする。明後日もゼミがあるから忘れないようにしたいのと次の論文をしっかり読み始めたい。とりあえず明日の午前中から。寝る。