夏休み29日目 - 夏休みの日記

9/4(金)　晴れ

11時に起床。リングフィットをやる。さすがに最初よりは勝手がわかるようになってきた。

$\mathscr{O}_X$ -ideal $\mathscr{I}$ で $Z := \mathrm{Supp}(\mathscr{O}_X/\mathscr{I}) , \mathscr{O}_Z := i_Z^{-1}(\mathscr{O}_Z / \mathscr{I})$ が閉部分schemeになるとき $\mathscr{I}$ がquasi-coherentになることが示せない。結局affine schemeに制限して $\mathscr{O}_X / \mathscr{I} = (i_Z)_*i_Z^{-1}(\mathscr{O}_X / \mathscr{I})$ となることを示せればいいという所まで来たのでそれを示すことを目標にしてみる。茎の同型は言えそうだから適切な写像を随伴性から誘導してくればなんとかなるんじゃないか。もうこの日記が思いついたことを文章化してあってそうか確認するメモ欄みたいになってきた。まあ何を考えたかという日記だと思えばよさそう。

案の定随伴性で恒等写像から写像を作ればただの層化の射になっててsupportを取ってることからも同型になることが分かった。次はanihilatorをやる。スペルあってるかわからない。quasi-coherentな加群の層に対してそれのsupportに自然なschemeの構造が入る。 $V(\mathrm{Ann}(M)) = \mathrm{Supp}(M)$ が加群の層の上でも成り立ってこれでschemeの構造をsupportが持つ。quasi-coherentかつfinite typeがないとだめだけど。本質的にはprime avoidanceを使っているからfinite typeがないとだめ。そのあとにいくつか加群の性質に関する同値性がまた加群の層でも成り立っていることを示す。flatだのfreeだのが出てくる。 $\mathscr{F}$ と $\mathscr{I}$ と $\mathscr{J}$ の書き分けが難しい。順番にFIJ。これで書いてわかったけど自分がIだと思って書いてたのはJだった。flatについてちょっと進めた。よくわからん記号あるなと思ってたけどファイバー積へ層を移すような作業をしていた。今日はここまで。