夏休み19日目 - 夏休みの日記

8/25(火)　晴れ

結構早くに目が覚めた。特にやることもないので可逆層からすすめる。可逆層の定義は階数1の局所自由加群となっている。テンソルでAbel群(Picard群という名前がついている)をなすこととかからイデアル類群みたいだと思っていたけどどうも本当にそうらしい。例がDedekind環を使っているらしくそうなりそう。調べてみたら直線束とかいうのと対応しているとのこと。代数が幾何学と対応しているいい例をしれたと思ったけど直線束がまだ分かっていないから実感がわかないのが残念。

$\mathscr{O}_X$ -algebraのところで誤植があったので報告した。しょーもないやつだったから無視されていた可能性が高いけど気になってしまった。その後akiさんとwarthunderをやった。やはり全然当たらない。

natural homomorphismとなっているところが誘導されそうでされていない。層化と直積かテンソル積が可換であることがわかればいいのでそれを示してみようかと思う。同系であることは分かっているがその間の射がどこから誘導されるのかくらいは見ておきたい。この時期は手がパソコンの熱とかずっとペンを持つことによる熱で湿ってお世辞にも手元が爽やかというわけには行かない。かといって冬は末端冷え性的なやつで指先が凍え死ぬのでどっちにしろ厳しいものがある。扇風機の前に指を当てていると手が湿っているのにめちゃくちゃ冷えるとかいう最悪になるので如何ともし難い。

層化の普遍性の茎を取って一致すればいいみたいなのを使えばすぐに示せた。流れは次の通り。

層のテンソル積のところの層化の写像によって

$\mathscr{G}(V) \otimes_{\mathscr{O}_Y(V)} \mathscr{G}'(V) \rightarrow \mathscr{G} \otimes_{\mathscr{O}_Y} \mathscr{G}'(V)$

が取れるのでこれについて $\varinjlim_{V \supset f(U)}$ の極限を取れば

$f^+ \mathscr{G} \otimes_{f^+ \mathscr{O}_Y} f^+ \mathscr{G}' \rightarrow f^+(\mathscr{G} \otimes_{\mathscr{O}_Y} \mathscr{G}')$

が作られる。左辺の層化が $f^{-1} \mathscr{G} \otimes_{f^{-1} \mathscr{O}_Y} f^{-1} \mathscr{G}'$ になることを使えば求める射が作れる。それが同型になるのは茎を見ればいいから層化する前の射で十分でそれは同型になってるからヨシ。これからinverse imageとテンソルの可換性が出る。構造がわかりやすいdirect imageは可換とは限らないのにこっちが可換になるのが少し不思議。構造が複雑で縛りが強いと思えば不思議ではないのかもしれない。あとは随伴性を示せば次はquasi-coherent moduleあたりに入る。どうも重要な概念とのことなので楽しみ。

SYUPRO-DXの新作が出ていたのを思い出したのでそれをやろうかと思う。前の「彼女は最後にそう言った」とかが最高だったので今作も楽しみ。ドットというのがまた良い。今日の日記はここでおしまいとする。明日はついに20日になることに気づいてびっくりしている。