4Q1日目 - 夏休みの日記

12/3(木)　曇り

9時位に起きた。4Q最初の日だということをこの日記を書いているときに気づいた。木曜日は全休でバイトだけ。明日から本格的に授業が始まる。というか金曜日3コマ分あるの大変。

午前中は本をちょっと読んだ。青の数学とかいうの。買ってから放置していた。数学オリンピックとか競技数学的な話だった。面白そう。

その後は昨日放置していた証明をやった。affineの場合に帰着して単射を示していたところだけど普通に任意のaffineの上で単射ならそれで良かった。何を疑問に思っていたんだろう。やっぱり寝るのは大事。続きをやった。局所化をしても階数1で自由であることが保たれることを本では半局所環であるから云々とやっていたけど普通に局所化の完全性から言える気がする。必要な条件はそもそもaffineに帰着させるときのmermorphic functionとrational functionが一致していることに使っているし本の通りやる必要ないんじゃないか。それで示せた。

次にそれが使いやすい場合としてnoether reducedまたはあるnoether環上の射影schemeのsubschemeの場合にこの命題が使えることを示した。Picard群がいくらかわかりやすくなる。逆かもしれないけど。

その後はdivisorのsupportについて考えた。これを考えるともう一つの疑問である、可逆層がdivisorから誘導される層と同型か否かについて判定ができるらしい。とりあえずいくつかの性質を見た。書くのは後にしてバイトの前までyoutubeとかで時間を潰した。

高校同期から本が送られてきた。悪ふざけが乗じてなかなか手の混んだ形で送られてきてひとしきり笑った。もらってばかりでいつも返礼を忘れてしまうので今回は色々落ち着いたら何らかの形でお礼したい。

バイトから帰ってきてから続きをやった。そもそもまずsupportはsectionのsupportだから閉集合である。ついでにdivisorをsectionで表示したときの同値な定義を見た。局所的な開集合上で一致していることを考えればすぐに分かった。とくにeffective divisorについてはそれから得られるclosed subschemeの下部位相空間とsupportが一致していることを示した。実際前にやったような $D \cap U_i = V(f_i)$ を考えればまさにそのまんまだった。locally ringed spaceになっていることがうまく効いている。また、全体でeffective でなくても局所的にeffectiveであるようなlocusを $U_{\mathrm{eff}}$ とおいた。実際これは開集合だし、とくに $f_i$ のそこへの制限は $\mathscr{O}_X$ のsectionになっている。とくに定義から $1 \in \Gamma (U_{\mathrm{eff}} , \mathscr{O}_X)$ は $\Gamma (U_{\mathrm{eff}} , \mathscr{O}_X(D))$ の元になる。加群なのにそういう元を含むというところが特殊。これを $s_D$ と書いて $D$ のcanonical sectionという。これを使うことで $U = X \setminus \mathrm{Supp}(D)$ について $\mathscr{O}_X(D)_{\mid U} \cong \mathscr{O}_{X \mid U}$ が言える。ここらへん使って次のことを示すらしい。すなわち、line bundle $\mathscr{L}$ について $R_{\mathscr{L}}$ を $\Gamma (X , \mathscr{L})$ のregular elementの集合としてそれの単元倍を同一視したときと $\mathscr{O}_X(D)$ と同型になるような層を誘導するeffective divisor全体が一対一対応をする。これが言えれば0か否かを判断することで少なくともeffective divisorによって誘導される可逆層なのか否かが判断できる。はず。

配信も終わって明日は授業もあるので今日はここらへんで終わりにする。