4Q8日目 - 夏休みの日記

12/10(木)　晴れ

目が覚めたら10時だった。目覚ましがなっていたはずだけど聞こえていなかったらしい。それとも目が覚めたけどすぐに睡眠に戻ってしまったのか。

授業がなくバイトが夜にあるだけなので数学をした。午前中はゲーム実況を見ながら。今日はまず昨日できなかった環がfactorialであることのWeil divisorを用いた言い換えをやった。結局いつものnoether整域においてnormalであることと高さ1の素イデアルで局所化した環のすべての共通部分はもとの環と一致することを使って出来た。これを適用するためにやっぱり局所環がDVRになることからorder関数が付値であってそれが0以上だからその環に含まれているという流れになった。これが言えてしまえばnoether integrally closed domainがUFDであることと $\mathrm{Cl}(A)$ が自明であることが同値であることが分かる。さらにlocally factorialであることからこれは $\mathrm{DivCl}(X)$ と一致しているし、integralであることから $\mathrm{Pic}(X)$ と一致していることも分かる。これらからまさにイデアル類群の類似になっていることが分かる。

その後は体上の射影schemeにおいて計算した。結果としては $\mathbb{Z}$ と同型になる。そのために斉次多項式の商で書ける部分乗法群 $\mathcal{R}$ を定義し、その上で次数を求める関数を定めた。そしてそのような $f$ に対し、素元分解をして $f = f_1^{d_1} \cdots f_r^{d_r}$ となったとき、 $Z^1(X)$ の元として $\sum_{i=1}^r d_i [ V_+(f_i) ]と定めた。とくに既約な斉次多項式について5章でやったことから[tex: V_+(f_i)$ はたしかにcodimension 1のintegral closed subschemeになっている。よって全射性も従い、次数を与える関数が特に $\mathrm{cyc} \colon \mathrm{Div}(X) \rightarrow Z^1(X)$ と一致していることを示して、

$\mathcal{R} / K(\mathbb{P}^n_k)^\times \cong \mathrm{DivCl}(\mathbb{P}^n_k) \cong \mathbb{Z}$

が言える。ついでにこれらは $\mathrm{Pic}(\mathbb{P}^n_k)$ と $\mathrm{Cl}(\mathbb{P}^n_k)$ とも同型なのでここまでいろいろな方法で定義してきた者たちが全部一致しているのは壮観だった。そして $[ V_+(f) ] \in Z^1(\mathbb{P}^n_k)$ に対応するCartier divisorを考えた。これは実際には $(D_+(T_i) , f / T_i^{\mathrm{deg}(f)})$ と書けた。これを $D(f)$ とかく。いまは既約な斉次多項式 $f \in k[T_0 , \ldots , T_n$ ]についてのみ定義したけど同様にこれを $\mathcal{R}$ の任意の元について定義する。その後は $d \in \mathbb{Z}$ に対応するPicard群の元を考えた。これを $\mathscr{O}_{\mathbb{P}^n_k}(d)$ と書いて、これは可逆層になっている。同型写像をたどることで、 $\mathscr{O}_X(d)$ は次数が $d$ となるような $f \in \mathcal{R}$ の元について、 $\mathscr{O}_X(D(f))$ と同型な可逆層の同型類になることがわかる。ここも結構面白かった。一回既約な斉次多項式まで分解して $Z^1(X)$ を経由させてそれをまた $\mathrm{Div}(X)$ の方で復元できるのが面白い。さらにそれはまたCech cohomologyとの対応を考えることが出来て、実際にそのcocycleは $(T_j^d / T_i^d)$ と書けて $d$ にしか依存していないことが分かる。

ただこの後がよくわからなくなった。バイト前から考えてバイト終わってから考えたけどわからない。いま構成から $\mathscr{O}_{\mathbb{P}^n_k}(d)_{\mid D_+(T_i)} = \mathscr{O}_{\mathbb{P}^n_k} T_i^d / f$ となっているが、そのあとに $\Gamma (D_+(T_i) , \mathscr{O}_{\mathbb{P}^n_k}(d)) = T_i^d k [ T_0 / T_i , \ldots , T_n / T_i ]$ であるとなっている。同型類だから $f$ をいい感じに取ることでできるのかと思ったけどそもそも $f$ の逆数を取ったら $f \in \mathcal{R}$ に反してしまう。だからもしかしたらイコールとなってはいるものの加群として同型であることを言っているのかもしれない。結局Picard群が同型類を元としてもっているからそれもあり得る気がしてきた。もうちょっと考えたいけど明日授業あるし眠くなってきたのでにっきはここまでとする。