夏休み(2021)1日目

8/7(土)　雨のち晴れ

祝、一周年。

院試ゼミのために6時過ぎに起きた。というかもともと6時半開始だと思っていたら7時開始だった。今日は一番最近のも解いていて、基礎問題に関してはそこまで問題がなかった。専門科目の方のガロア理論の問題が全然解けなくてそれを考えた。1次変換であることに注目して解の置換を行っているということに気づくとガロア群の一致が言えて、さらに体への作用をその上の多項式環への作用だと見ることで係数の普遍性が言えた。あとpの冪乗のところとそれ以外のところの特徴として線形性があるかどうかだということだということに気づいてそれで解けることを教えてもらった。複素解析も解いたけどモレラの定理を使うと思っていたら境界上に極がある時が駄目だったので用意していた解答はあってなかった。だけどその場で修正案をもらって、行けた。位数の高い極の留数が大変だからたくさん掛け算することで位数を1にして留数計算を代入で終わらせた。これ思いつかなかった。

午後まで時間があったので昨日の続きをやった。Cech cohomlogyの同型を示すことである性質が良い感じに遺伝することを示して、最終的にsimple Laurent coveringでその性質が満たされているから帰納法の一段階目みたいにすべての良い被覆について性質が満たされていくことが示された。これによってまずはcomplete Tate stably uniform Huber pairがsheafyであることが示された。完全性はCech cohomlogyの話から言えるし。埋め込みであることはstrict性が冪有界性の局所判定で話が終わる。これで一つ示したかった大きな定理は示せて、その後はCech cohomologyの一般論を使って高次のcohomologyが消えることを示した。でもその一般論が何個か命題を使っていてそれを証明していない。Cech cohomologyとcohomologyの一致の話はなんかよくわかってない気がしている。まだ馴染めていない。cohomology自体があんまり計算とかをしたことがないのが原因かもしれない。少なくとも長完全列がすごいということがわかったけど。

一回演習問題を考える話し合いを挟んで続きをした。離散環についてsheafyで有ることを示した。pullbackを何故か順像だと思っていてちょっとわからなくなったけどできた。Goertzに書いてあった開基の上で層なら全体で層になっているという命題と層の逆像の相性がいい。今度はstrongly NoetherianとかNoetherian ring of definitionを持つ場合を示す。こっちはHuberの論文に戻って続けようと思う。Raynaudの定理の類似を行っているらしいけどそっちはまだrigid spaceの方でやったことないからどうしようかとなっているけど。

朝早かったのもあって少し寝た。ゆっくりしてたらメールが来て一年前の日記を見てみませんかと書いてあってそこから今日の日記を書き始めた。一年前の日記はこれ。

iridium.hatenablog.com

ほんとにぴったり一年前でびっくりしている。学事歴ってすごいんですね。この頃に比べると変化していてそれが面白いし、我ながら一年前のschemeのsmoothnessのところからよくAdic spaceのところまで来ているなという感じ。これがあるから日記を書くのが楽しいのかもしれない。といいつつ題名が夏休み(2)とかいう適当な題名なんだけど。もし万が一数年続いたときに確実に後悔しそうな題名になってしまっている。

というか明らかに文章量が増えているのなんでなのだろうか。普通に1000文字を超えてしまっている。まあそれだけ書くことがあるということなら悪いことではないんだろう。日記で今日やったことをまとめてそれで証明を思いついたとかあるし。まあなにはともあれまた続ける。さすがにあれなので夏休み(2021)にした。打つのもそこまで面倒じゃないラインとしてはこれくらいがちょうど良さそう。

sheafyの証明のために位相環の上の有限生成加群のある位相を考える。なんかそれをcanonical topologyとか名付けてるっぽくて流石にそのネーミングはどうなんだという気分になっている。何を持ってして自然と言っているのか。位相加群への準同型が全部連続になるという位相だけどそれの基本近傍系になっているというものの証明ができない。基本近傍系になっているというかこれで作られる位相がその条件を満たすことを確認したい。ひとまずやっぱり値域側の位相加群の話から開集合を取ってきてやるんだろうと思っている。考える。

やっぱりスカラー倍の連続性から一点がboundedと同じようにして良い開近傍が取れたんだけど最後の最後で開集合が和で閉じてないといけなくなってしまった。今は特にadicとかではないのでちょっとそれは厳しい。平行移動で同相なこととかから行けないだろうか。できた。平行移動と言うか和の連続性から特に有限個の和くらいならその逆像が開集合だからできた。十分小さくすれば和で閉じていることとか改めて証明したことなかったのでちょうどよかった。それに加えて自然な位相というものを間違っていた事に気づいた。最初はなんか固有名詞的に使っているのかと思ったらそうではないらしい。というか離散位相を入れればこの条件満たされるし、そういう位相の総称を指しているということらしい。とくに条件を付け加えるともっと良い位相が取れるらしい。まあ基本近傍系は今証明したのと同じなんだろうけど。

あとは細かい命題を証明していく。今日は朝からやって疲れたしあとはちまちますすめることにする。

明日はまた院試を解いておく。一応毎日触れておきたいとは思っているから一年分まるごとはやらないと思う。まあゼミでやるところ以外に自分で解いておいても良いんだけど。複素解析とか解いてみても良いかもしれない。

なんか最近割とスラスラ進められている気がする。簡単なところだからだろうか。平易な文献を読んでいるばかりで読むだけにならないようにしないといけない。また少し命題を証明しようと思う。Noether定義環を持つHuber環がNoether性より強いということに気づいた。だからstrongly noetherと合わせて結構強いNoether性を課さないとshafyで無いということだった。それなのに完備かつTateかつstably uniformくらいでsheafyになるのよく考えたら恐ろしい。しかも完備TatePerfectかつperfect定義環を持つだけでその条件を満たすから確かに扱いやすいのかもしれない。標数が0なんてことが生じなくなるけど。

そこそこ遅い時間になったので今日の日記はここまでにする。夏休みに入った感じがない。院試が終わって晴れて夏休みという感じになりそう。