4Q50日目
1/22(金) 晴れ
9時に起床。授業までのんびりした。
複素解析は一位微分形式をやった。どうも形式的な操作なのかしっかりと裏付けされているのか微妙なところが多くて悩みどころ。正則微分とか有理型微分とかまでやって最後は積分の定義をした。計算できる気がしない。
お昼の時間にはyoutube見たり昨日命題だけ書いていたところの証明を眺めたりしていた。denseなこととかgeneric pointを含むこととかを書く前に確認した。
位相幾何学は重心細分をもう一度使って、単体写像のホモトピックとかを定義した。ついでにそこから単体近似に依らずにホモロジーの間の準同型が得られる定理を知った。細かい証明はだんだん授業外の資料に投げられ始めたけどとりあえず気持ちは理解できている。これが射のホモトピー不変性らしい。積単体とかは柱を作る操作というのが図でとてもしっくりきた。
その後はいつもどおり位相幾何学の復習をした。復習と言っても今日は授業中の問ではなくレポート問題を考えた。詳細を言ってくれるかもしれないと思っていた部分はどうも前回の授業後に質問への返答という形でやっていたらしくそれを見返した。だけどどうも今回のものには使えそうになくてしょうがなく定義通り計算してみた。ちょっとめんどくさいところもあったけど完全に代数の操作でうまくいった。その提出用の清書を配属予定の研究室のオンライン新年会的なものの時間まで書いた。途中まで。
新年会では色々話を聞けた。どういう人がいるのかもわかったし、あまり知らなかった本のことについてもしれた。早速ダウンロードして眺めていたけど面白そうだし今の段階で十分[tex: が出せそうでとても良さそう。せっかくなので少し腰を据えて目を通してみても以下もしれないと思った。
夜ご飯があったから途中で抜けてご飯を食べた。その後はレポートの清書の続きをやって提出した後考えていた証明を実際に書き出していった。任意の点における局所化が整域であることとnoether schemeであることを使って既約成分のdisjointにすることで証明がわかりやすく回った。だけどどうもその仮定までなくてもう少し弱い仮定でもいいらしいとおもったけど実際それでも同じことになりそう。regular local ringはUFDを使えば良さそう。今見てるのは高さが1以下のやつだけだし。いま興味のある点がすべて高さ1以下だからすべての点でnormalではなくそういった点でregularくらいで良い。というかregularではなくnormalまで緩めて良いんじゃないだろうか。どうせ局所環がDVRに帰着できればいいだろうし。おそらくSerreの条件の形に書きたかったのではないだろうか。
証明は途中であとはこの次の補題を示せばいいというところまでいってそこがよくわからなかった。射を拡張する必要があって最初は有理写像の拡張だと考えることができず変な同一視をしてしまっていた。そこを改めて考え直して、やっぱりdisjointであることを見直して今見ている点の近傍以外ではもともとの射と同じように取ってくることでうまくいったっぽい。既約成分に拡張するというよりかはある一つの既約成分の補集合である開集合への制限へも拡張するという感じ。それで言えたからあとは補題を示すだけ。
補題ではseparatedとuniversally closedから別々の結論が得られてそこから射の拡張の唯一性が出て、それがなぜ必要か悩んでいた。結局の所ある点の局所環の間の射が一致しているときそれの中のgeneric pointへの射の取替が一致しているために必要そう。ちょっと日記書いていたらやっぱり微妙にわからなくなってきてしまって、多分大丈夫だと思うんだけどそれだと怪しいので明日新しく考えてみることにする。
