3Q(2021)23日目

10/23(土)　晴れ

11時位に起きた。昨日わかってなかった自由加群のところもやっぱりわからないままだったので続きを読んだ。perfectoid体上のalmost purity theoremを示す。perfectoid体上の有限次分離拡大はまたperfectoidであることは一般の場合の関手の存在性からわかるしその拡大次数がtiltをとっても一致することは逆極限と直積が可換になっていることを使ってすぐわかる。だから問題なのはそれぞれが一対一にたいおうしているかどうかでそれは関手がuntiltingのやつだから本質的全射性だけを示せばいいことになった。そのために色々作っているんだけど代数閉包を有限次分離拡大の順極限で表してそれの完備化だからみたいなことを色々やった。上のところで圏同値な関手が既に取れてるからGalois群が保存されて、故にいい感じのGalois拡大で包めればその間の一対一対応で本質的全射性が保たれるとかいうきれいな証明を見た。

途中apexをやった。最近あんまやってないしずっと負け続けた。途中から部会に参加して人の話を聞きつつ原稿を書いた。やっぱり一箇所どうしてもわからないから明日のゼミで聞いてみる。結局多項式環とその商体の間の局所環がどういう形になっているかという問題な気がする。ネーター性のところは結局アファインスキームの話を使ってやった。

終わってから代数閉について続きをやった。Krasnerの補題というのを使うらしくその主張はわかったけどどうやって使うのかわからなかったのでお風呂に入って考えてたらわかった気になった。結局は完備化して代数閉ならもとも代数閉であることを言えればいいだけなんだけどなんかこの補題の状況に適用できない。体とその上の分離閉包と元のGalois共役を取るんだけどいまはもともと上の体が代数閉だからGalois共役がとれなくてなんか仮定を満たすことが確かめられない。これがないとなんかよくわかんないことになってしまう。分離性を使うと言ってるからなんか色々やりたいんだけど下の体が完備じゃないこともあってよくわからない。

もう眠くなってきてしまったから配信を見ながらあとはダラダラ過ごす。Krasnerの補題についてもう少しちゃんと主張を理解しようと思う。代数閉の完備化がまた代数閉であることの証明とか見てみればいいと思ってる。

明日は午後にゼミがある。他の時間はもうあと2ページになった残りの証明を読めるところまで読もうと思う。