4Q7日目

12/9(水) 晴れ

9時に起きたと思ったらダラダラしてるうちに10時になっていた。冬場はなかなか布団から出れない。授業は確率論だけだから気楽。

今日はDynkin族とか確率分布についてやった。その後は演習問題のゼミをやった。予定ができたから途中まで。affine lineを張り合わせてschemeを構成した。必要な情報が多くて結構長かった。schemeであることでなくringed spaceまでしか証明してなかったからその場で考えた。結局直積環のschemeがdisjoint unionであることを使ってうまくいった。

あとそこで研究室配属アンケートの結果が出た。自分は事前に話し合いのためにもらっていたからほとんどその時見たとおりだった。ひとまず希望のところに入れそうなので安心。やりたいことも見つかったのでそれを目指してやっていきたい。

そのあと用事を済ませたあとWeil divisorの制限写像について考えた。これから完全列を作れる。

主張

Noetherian scheme X とそのclosed subscheme Z をとる。 Z  X においてcodimension 1となる既約成分 Z_1 , \ldots , Z_rを持ち、 U := X \setminus Zがschematically denseであるとする。このとき次の群準同型は完全列。

 \oplus_{i=1}^r \mathbb{Z} [ Z_i ] \rightarrow \mathrm{Cl}(X) \rightarrow \mathrm{Cl}(U) \rightarrow 0

 証明するためにまず Z^1(X)  Z^1(U) の間で考えると実際これでも完全列になる。これにはschematically denseの仮定を使わない。これを \mathrm{Cl} の方の完全列にするためにその仮定を使う。それが難しかった。principal Weil divisorで誤差がうまるんだけどそれが U 上のprincipal Weil divisorだけどそれを X 上に拡張するところが難しかった。そもそももとはschematically denseの仮定が無かったけど誤植表にこれが必要って書いてあった。そこに書いてあった方法では証明ができなくて、noether性を使ってmermorphic functionとrational functionが同型になってることとschematically denseの推移性を使ってやった。これで証明できた。

ついでにいい感じの可換図式を作った。Picard群と \mathrm{DivCl} \mathrm{Cl} の間の準同型の図式。そのあとはdivisorの例がいくつかでてきた。1つ目はUFD上のdivisorを考える。環をNoether integrally closed domainとしたとき、UFDであることと高さ1の素イデアルがすべて単項生成になることが同値。そしてこの条件は任意のprime Weil divisorがprincipal Weil divisorであることと同値らしい。単項生成ならばの方向の証明は出来たけどその逆がうまくいってない。結局ある元を取ってきてそのorderを見るんだけどどうにも出来ない。分母が消せればある程度楽になるんだけど。と書いたところで分母が素イデアルに含まれないときにうまくいくことに気づいた。それでとりあえず素イデアルに含まれるときのみを考えれば良いことが分かった。でもそこで詰まってしまったので明日に持ち越す。明日は授業がなくて暇な日なのでゆっくりする。

公開するときに気づいたけどサムネイルが自動でTeXのところにならないようになっている気がする。気のせいかもしれないけどひと手間減ったのでうれしい。