3Q61日目 - 夏休みの日記

12/1(火)　晴れ

9時位に起きた。effective divisorについてやった。だけど少しも進まなかった。closed subscheme $Y$ についてopen affine covering $U_i$ で $Y \cap U_i = V(f_i)$ となる $f_i \in \Gamma (U_i , \mathscr{O}_X)$ が取れるときこの $f_i$ と $U_i$ がdivisorになることがわからない。つまり結局 $f_i f_j^{-1} \in \Gamma (U_i \cap U_j , \mathscr{O}_X)$ となることが示せない。 $Y \cap U_i \cap U_j$ でのwell-defined性とかを確認しても結局 $f_{i,x} \in \mathfrak{m}_x$ と $f_{j,x} \in \mathfrak{m}_x$ が同値であることとか $f_{j,x} \notin \mathfrak{m}_x$ であれば $f_{i,x} f_{j,x}^{-1} \in \Gamma (U_i \cap U_j , \mathscr{O}_X)$ であることは分かった。だけど極大イデアルに入っている場合が何もわからない。そもそもdivisorから誘導される可逆層との全単射性を示したいんだけどその順方向にこの条件を使っていないからよくわからない。

小説読んだり配信見たりしながら過ごしていたけどどうもいい方法が思い浮かばない。

下部位相空間しか考えていないことに気づいて層のほうを見てみた。 $V(f_i)$ の層を考えると $\mathscr{O}_{X \mid U_i \cap U_j} / f_{i \mid U_i \cap U_j}$ と $\mathscr{O}_{X \mid U_i \cap U_j} / f_{j \mid U_i \cap U_j}$ が同じことは分かったんだけどこれが同型写像によるものであるというのが厳しい。もしこれが $\mathscr{K}_{X \mid U_i \cap U_j}$ の中でイコールだったら言いたいことが言える。だけどそもそも $\mathscr{O}_{Y \mid U_i} = \mathscr{O}_{V(f_i)}$ なんだけどこれがただのイコールと見ていいのか。

日記書きながら考えていたけど $\mathscr{O}_Y$ はclosed subschemeだからあるイデアル層 $\mathscr{I} \subset \mathscr{O}_X$ で $\mathscr{O}_X / \mathscr{I}$ と一致していてそれの制限を考えると $\mathscr{I}_{\mid U_i \cap U\j} = f_i \mathscr{O}_{U_i \cap U_j} = f_j \mathscr{O}_{U_i \cap U_j}$ となるから良いのではという気持ちになってきた。なんかいけそう。というかそれでいい。

3Qももう終わりそうでそういえば明日久しぶりに交流会があるから出席できたらする。この休みも後少しで終わってしまう。4Qは全休があるから少しはまた時間に余裕ができるからまあよし。日記はここらへんまでにして続きをやるか小説を読んで寝る。