3Q62日目 - 夏休みの日記

12/2(水)　曇り

起きたら11時だった。3Q最終日。とはいってもここ数日はずっと授業も何もなくてクオーター休みだったから明日から4Qが始まるという意識もない。というか明日も全休だし。教養卒論とか英語第九とかのめんどくさいやつを3Qで終わらせられたのは非常に大きい。めんどくさいことは早めに終わらせるという信条のもとに過ごせていて良い。

今日は午前中に昨日から少し進めてdivisorから得られる層が同型であることとdivisorが線形同値であるということが必要十分であることを示した。これ自体は難しくなくて、これを使ってprincipal divisorで割った群 $\mathrm{DivCl}(X)$ からPicard群への準同型が得られる。divisorの方は同型とかなくて、Picard群の方は同型類を考えているからそこの誤差をうまく埋めている。同型類をみているのかみていないのかで見方が大きく変わるというのを具体的に暑かったのは初めてかもしれない。うまくcohomologyとかと対応させようとするとcohomologousの条件を同値類のところで圧縮しないといけない。ついでにPicard群とcohomologyの同型から短完全列から得られることを示した。つまり、

$1 \rightarrow \Gamma (X , \mathscr{O}_X^\times) \rightarrow \Gamma (X , \mathscr{K}_X^\times) \rightarrow \mathrm{Div}(X) \rightarrow \mathrm{Pic}(X)$

は短完全列

$1 \rightarrow \mathscr{O}_X^\times \rightarrow \mathscr{K}_X^\times \rightarrow \mathscr{K}_X^\times / \mathscr{O}_X^\times \rightarrow 1$

から得られるcohomologyの長完全列の最初の部分である。このためには連結準同型 $\Gamma ( X , \mathscr{K}_X^\times / \mathscr{O}_X^\times ) \rightarrow H^1(X , \mathscr{O}_X^\times)$ と $D \mapsto \mathscr{O}_X(D)$ が同じであることを確かめる必要があった。実際これはしっかり同じで、ここで一致するために値域が可逆層の同型類である必要があった。そうじゃないと同型で取れる部分の誤差を潰せない。

その後は小説とかyou tubeとか見てた。読みやすかったしすぐに一冊読んでしまった。

次に示したいのはschemeがintegralかschematically denseなaffine openをもつようなlocally noetherianであるときに $D \mapsto \mathscr{O}_X(D)$ が全射であること。これが言えれば $\mathrm{DivCl}(X) \cong \mathrm{Pic}(X)$ が言える。結局 $\mathscr{O}_X(D)$ は前にやったことから $\mathscr{K}_X$ の中の部分可逆層(invertible fractional ideal)だから像として可逆層からの単射 $\mathscr{L} \rightarrow \mathscr{K}_X$ を考えれば良い。ここでその像はPic(X)内だから同型類で考えていい。証明の一番目はschematically dense affine open $U$ について単射 $\mathscr{L}_{\mid U} \rightarrow \mathscr{K}_{X \mid U}$ が一意的に $X$ 上に拡張できることを示した。これはもしそれが言えれば $U$ 上で考えればいいことがわかるから。もっと言えば、可逆層の定義から $\mathscr{O}_V$ と同一視できるような開集合 $V \subset X$ であってとくにそれが $X$ の開基をなすものをとれるからその上で考えればいい。そうするととくに $U$ はintegralかnoetherだからmermorphic functionとrational functionが同じでそのときschematically denseから $U$ 上のrational functionが $X$ 上に一意拡張できてそこで戻せば良い。

その次はaffineに帰着できているからそこで考えて、任意の可逆層から $\mathscr{K}_X$ への単射を構成すればよい。このときに本では大域切断上で単射を作っていたけどこの状態では $\mathscr{K}_X$ はquasi-coherentとは限らないからそれだけじゃだめなんじゃないかと思った。そこがうまく分かっていない。

日記を書いていたせいか明日が誕生日だと勘違いしていた。いや実際日記の上では明日なんだけど投稿時間的に今日だった。同じ誕生日の19がいたらしく一日違いかとか思っていたら川谷絵音が誕生日だったからそこで自分の誕生日でもあることに気づいた。

上で言ってるやつ考えてもわからなかったからちょっと放置。明日はどうせバイトしかないからゆっくり考えてみる。

加藤純一TALEが面白すぎてずっと見ていた。こういうゲームを作れるのすごいし多分600時間で作れるのはすごい。もし明日まで縺れ込むならバイトのときに配信がかぶらないでほしい。絵も音楽も構想もプログラミングもできるのやばすぎる。

クリアできなかったので明日楽しみにして寝ることにする。お風呂入ってなかったから入ってからだけど。4Qもせっかくなのでまた日記をつけることになりそう。というわけで3Qお疲れさまでした。