4Q11日目

12/13(日)　晴れ

11時に起きた。午前中は出来ていない同型写像の構成を考えていた。結局なんで k^\times E_n 分の誤差を消せるのかわからない。ハーツホーンの方見てみてもなんでか全くわからない。層の上の準同型を見たら結局おなじ同型写像にならない気がする。それを一回諦めて逆写像を作るところを読んだけどそれもわからない。大域切断をとって \mathrm{Aut}_k(\mathbb{P}^n_k) \rightarrow \mathrm{Aut}_k(\Gamma (\mathbb{P}_n^k , \mathscr{O}_{\mathbb{P}^n_k}(1)))という準同型が作れることはわかった。 \mathbb{Z} との同型をとって \mathscr{O}_{\mathbb{P}^n_k}(1) が生成元になることを使えば任意の同型射 f \in \mathrm{Aut}_k(\mathbb{P}_n^k) による逆像 f^* \mathscr{O}_{\mathbb{P}^n_k}(1) がまた \mathscr{O}_{\mathbb{P}^n_k}(1) と同型になることが分かる。そうすれば大域切断での同型写像になっていることも言えていけるはず。もうここが微妙。ついでにそれを \mathrm{Aut}_k(\mathscr{O}_{\mathbb{P}^n_k}(1)) で割っていてこれがもうわけわからん。これが \mathrm{Aut}_k(\Gamma (\mathbb{P}_n^k , \mathscr{O}_{\mathbb{P}^n_k}(1))) への単射準同型になる理由がわからない。単射性を言うためには大域切断上で同じ写像だったら層の射として一致しているってことを言わないといけなさそうでそのために制限写像が単射であることとか使おうとしたけどそうすると結局自明な群になってしまう。ついでに本には \mathrm{Hom}_k(\Gamma (\mathbb{P}_n^k , \mathscr{O}_{\mathbb{P}^n_k}(1)) , \Gamma (\mathbb{P}_n^k , \mathscr{O}_{\mathbb{P}^n_k}(1))) = \mathrm{Hom}_k(\mathscr{O}_{\mathbb{P}^n_k} , \mathscr{O}_{\mathbb{P}^n_k}) となると書いてあるけどこれもわからない。加群としての準同型だからなんとかなるのかと思ったけど別にそんな感じではない。

何もわからなすぎたので午後はこれを放置してdivisorの逆像についてやった。とりあえず \mathscr{K}_X を考えているから射 f \colon X \rightarrow Y が持つ f^\flat \colon \mathscr{O}_Y \rightarrow f^* \mathscr{O}_X が \mathscr{K}_Y \rightarrow f^* \mathscr{K}_X へ拡張できる必要がある。そうすれば \mathrm{Div}(Y)から \mathrm{Div}(X) への射が得られる。ここまでは良かったのに簡単にわかると書いてあった、 f^* (\mathscr{O}_Y(D)) \cong \mathscr{O}_X(f^* D) がわからない。結局 D = (U_i , f_i) と書いたとき f^* D = (f^{-1} (U_i) , f_{U_i}^\flat (f_i)) と書けて、 f^{-1}(U_i) 上で層として同型ならばいいということが分かる。だけど層の逆像がsheafificationを取っていたりそもそも順極限で定義していたりと難しい操作をしているので求めたい同型が求められない。今の所開集合 U \subset f^{-1}(U_i) \subset X について f^+ \mathscr{O}_Y(U) = \mathrm{lim}_{W \supset f(U)} \Gamma (W , \mathscr{O}_Y) f_{i \mid W}^{-1} \rightarrow \Gamma (U , \mathscr{O}_X) f_{i \mid U}^{-1} が同型写像になればなんとか証明できそうという感じになった。だけどこの同型が言えない。

参考文献を探していたら結局EGAだったので見てみたけどどうもそもそもの設定が微妙に違かったっぽくて厳しいものがある。

午後はそれに加えて発表の聴講があった。猫を回転させることが出来た。

発表後に配信を見ていながら数学をやっていたとはいえ明らかに進みが悪かった。ここだけでもわからないところが多すぎる。というかわかったところがまったくない。こういうときは具体的な射の構成ぐらい書いてくれってなる。あと同一視の方法も。来週のゼミで聞くことにして放置しても良いかもしれない。わかる道筋が見えない。

今日はこれ以上やっても同しようもないということで明日以降の自分に託す。日記もここまで。