4Q46日目

1/18(月)　晴れ

9時に起きたけど最近アラームを聞き流してる気がする。

昨日最後に考えていた稠密な射の切断が稠密であることがちょっとわからないまま。とりあえず日記をここ数日書いてなかったのを思い出したので書いた。このあとは配信を聞きながらそれを考えようと思う。もしくは共通テストの数学を解いてみても良いかも。バイトまでには解いておこうと思う。

とりあえずintegralなschemeのnormal性の普遍性を示した。途中正規化の切断がdominantであることを示すところがうまくいっていなかった。考えたところ、どうも位相空間の性質だけではなんともならないのでじゃあ層の構造の単射性に帰着できないかと気づいた。整拡大であることとか単射性とかまで使って示せた。dominant性と単射性が位相空間の性質と層の性質をうまくつなげていてくれてる。

それの前か後かわすれたけど共通テストの数学II・Bだけ解いた。時間はだいたい55分かかって96点くらいだった。鈍ってなかったから少し安心したけど相変わらず時間が全然足りない。数学というか手際の良さと頭の引き出しを確認されている気分。二箇所間違えて一箇所は単に書き間違いでもう一箇所は加法定理の類似が成り立つかみたいなところでそれは普通に間違えた。問題形式も思ったより変わってなかったし難易度もまあこれくらいだろうなという気持ち。IAとか物理とか化学とかは普通にデータの整理に始まり色々知識を忘れていそうでまだやっていない。気分が向いたらやる。

バイトの前と帰ってきてからはcuspの正規化の例をいじった。とりあえず正規化をy軸からの射だとみなすことができてそこから任意の点における剰余体の同型を誘導することが言えた。だけどcusp自体は原点で尖っていて、とくに分岐しているのでここで正規性がまずいことになっているからnormalではないので正規化と同型にはならない。この後が面白くて、とくにこの射はunivarsally homeomorphismかつbirationalかつfiniteになる。finiteは定義からわかって、birationalは関数体の同型でも良いし原点を除いたdense openの上での同型は言えるからそれでも良い。universally homeomorphismの証明のためにuniversally injectiveとuniversally closedとuniversally surjectiveが必要と書いてあった。universally injectiveは剰余体の一致と結構前にやった定理から、universally closedはintegral morphismのbase changeによる不変性から従ったけどsurjectiveが最初わからなかった。本文にはsurjectiveとしか書いてなくてなんでだろうとおもったらそもそもsurjectiveはbase changeによる不変性を持っていた。命題の形でまとめてあったけどそれよりまえにファイバー積のところの議論で言えていることに気づいた。これによりそんな良い性質を持っているのに同型にならないaffine schemeを得ることができた。universally closedってなんで必要なんだっけと思ってたけど日記を書いてたら気づいた。普通に逆写像も連続になる必要があるからだった。位相空間論を忘れてしまっていた。

とりあえずやりたいことは示せてその次はaffine schemeとその上のquotient schemeについてをやる。もとのschemeがnormalならそのquotientもnormalになるとのこと。普遍性をうまく使うんだろうということはわかっているからちょっと考えてみようと思って頭の中で考えてみてたけどどうやって群による不変性を言って射を分解するんだろうとなっている。

眠くなってしまったのと明日は久しぶりに授業があるのでもう今日の日記はここまでにして寝る。