夏休み(2021)43日目 - 夏休みの日記

9/18(土)　雨

10時位に起きた。午前中は昨日の続きの写像の構成を見た。完備性(というか分離性)を使って準同型であることを示していてやっぱり位相が入っているとやりやすいことが多いんだなと感じた。何をしてる定理なのかいまいち分かってなかったけど一日掛けて全部証明してみて結局めちゃくちゃ大事だった。それを使った定理がとても良さそう。

何箇所か止まって、そのたびに考えたり文献を探したりしてなんとかなった。一箇所多分論理が間違っている箇所があると思う。本当は短完全列の右が平坦じゃなくちゃいけない命題を左が平坦だと言って使っている気がする。そこから右側の平坦性は一般に従わないけど、もしかしたら今は従うかも知れないのだけど。

それでよくわからなくて他の文献を見ていたら明らかに簡単に終わっているところがあった。あんまり考えずに見てしまったのが少しもったいなかった。繰り返し近似をしていって完備性から元を取ることができていた。それで結局何が示せたかと言うとパーフェクトイド環のtiltの整元環のWittベクトル環を作るとそこからもとの整元環への全射が取れるということ。しかもその核はとてもわかり易い。

これを使うとtiltを取って一度標数pに行ったあとWittベクトル環を挟んでまたもとの標数に戻ってくることが出来る。これを使って任意標数のパーフェクトイド環と標数pのパーフェクトイド環とイデアルの組の間に圏同値を得られる。これによって異なる標数の間を繋げられるのやっぱりすごい。同型なんて言えるわけないからもう少しゆるい感じでつなげようとしているっぽい。

それでその圏同値を示そうと思って、一方は今日示した定理で上手く行ったけど逆向きはWittベクトル環の剰余環がパーフェクトイド環になることを示さないといけなくてそれがしんどそう。まずはHuber ringであることとかを確かめるんだけどひとまず位相はp進から誘導されるやつで良いんだろう。uniformとか絶対めんどくさい。というか元を取ってやる方法しか考えられてないけどどうなんだろう。結局全体は局所化を取ってるからそこから行けるだろうか。あとはprimitive of degree 1というのでうまくいってほしい。

夕方に半額で昨日買ったペルソナ5のDLCをやった。久しぶりにやったけどやっぱりBGMもかっこいいし斜めのUIが良い。見づらいわけでもなくちょうど良い感じに崩されているのがとても良い。大体倒せたけど難易度が高いやつが２つあってそれがうまくいかない。というかP4Gも敵が強くて苦戦している。そろそろ再開したい。明日出かけるんだけどその間に充電をしておこうと思う。つどいがあったんだけどタイミング悪く参加できなくなってしまった。

今日はあとは上で書いた定理の続きの証明を読むだけ。読むと言っても書いてないんだけど。なんか今日の分はやりきった感が出ちゃってるので小説読むかも知れないけど。ということで今日の日記はここまで。