4Q(2021)28日目

12/29(水)　晴れ

11時に起きた。とりあえず予定通りTate algebraを使って反例を作っている論文の序文を読んだ。やっぱりこういう序文が面白いとテンション上がる。結構難しくなさそうだったのと、最初のTate algebraに関する準備みたいなところは結構簡単なところだったのでほとんど既知だった。しかもそもそもそこまで長くないやつだからそのままの勢いで読めた。全部はまだ読めてないけど1つ目の主定理にはたどり着いた。Tate algebraのFrobenius split性についていくつかの同値性があって、殆どはそれはそうなるだろうという同値だった。結局やっていることはsplitにするために単元を掛けて調整するくらいだったし。本質的なところはTate algebraに対してsplittingが構成できるなら体の方で良い線形写像があることだった。これも結局連続性が問題なだけで、準同型が結局係数に注意しておけばよいという話っぽい。これがわかればある種のHahn-Banachの定理が成り立つ体を係数とするTate algebraはFrobenius splitであることがわかる。反例を与えるだけではなく、どの場合なら変なことが起きないのかを示しているのも大事っぽい。しかも結構多くの場合に成り立つし。

その途中で出てきたHahn-Banachの定理が成り立つ非アルキメデス的付値体はどれかという定理が面白かった。久しぶりに聞いた名前だけどこういうふうに逆にそれを満たす体は何かみたいな視点が面白い。

次はTate algebraよりもう少し大きい環を構成した。そうすると今度はdivisionができなくなってるっぽいけど局所環になっている。大きくすると単元が増えて局所環になるのは感覚とも合ってる。これについても同じ定理が成り立つらしい。なんかスラスラ読めすぎると思ったけどそもそも必要な性質とかHahn-Banachの定理が成り立つところとか重そうなところを全部Factとして認めてるからな気がしてきた。まあとりあえずよしとする。

今日はあとは続きを読んでこの章を読み終わる。最後の大事な反例のための体の構成は明日に回す。少し早い気がするけど今日の日記はここまで。