春休み(2021)4日目

2/15(火)　曇り

11時に起きた。なんか起きるのが遅くなっているような気もする。今日は一日なにもないので数学の続きをした。結構止まること無く色々考えついてはいるんだけどそれらが尽く失敗している。まあ考えついているとは言ってもチマチマ既存の定理を使って書いてるだけなんだけど。とくにLegendre変換をしたあとの方に移すと和に関しても考えやすそうだったのでそれで考えてみたんだけどなんかうまくいかない。どうしてもp進とX進でバッティングして良くない方向に向いてしまう気がする。

意外と振り返ってみるとあんまりやってないような気もしてきた。最近少し頭の中で考えてから手を動かすようになったからかぼーっと考えている時間が多いのかもしれない。

X進ノルムがちゃんとノルムになっていてほしいなあと思ってお風呂で考えていたらそういえばそもそもなんでp進ノルムになってるんだっけってなった。tiltを取る前は特別な場合で言えばX進ノルムのほうでの付値環だしなんかいつでも成り立つと思っていたp進の乗法性がまずい気がしてきた。というかそういえば定義なんだっけってなってちゃんと考えようとするとX進と同じ原因で乗法性が言えない気がした。ということでなんかうまく素イデアルであることが言えると思っていたら言えていなかった。まあその素イデアルであるかどうかわからなくなってしまったやつに少しイデアルを足せば特別な場合においては素イデアルであることがわかるけど。修正するためにまずはちゃんとp進ノルムを考えた。そうするとスペクトラル半ノルムが乗法的になるようになるけど半ノルム性が今度は外れなくて問題になる。

そうすると必要な条件としてはtiltを取ってからvaluation ringになることっぽい。イデアルの生成系を変えればなんとかなるかと思ったけどそれはなんか難しそう。結局問題としては特殊な場合ではないときに素イデアルであることがわからなくなってしまったこと、素イデアルとなる場合の条件が書き換えられないこと、未だに素イデアルの列がわからないこと。

明日は午後にゼミがあるけどとりあえず一般の場合のときに持ってほしい性質をちゃんと定式化して、それと既存の結果の同値性を考えてみる。あとは引き続き素イデアルの列を探す。X進ノルムでの付値環であることがわかったのは結構うまく使えるんじゃないかと思っている。最近寝落ちが多いから今日はここらへんで自主的に寝る。